数系的扩充历史和复数的概念.ppt

数的发展历程,数系的扩充,正整数,在古代，首先有的是正整数，古代的人为记录一天的劳作结果，常常以结绳来计数。我国古书易经中就有“结绳而治”的记载。,结绳记事,数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在人类社会初期，人们在狩猎，采集果实等活动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数,正整数,用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或者用小棍摆在地上计数也是古人常用的计数方法。,结绳记事,正整数,主要为了满足基本的计数需要,随着生产，生活的需要，人们慢慢发现，仅仅表示出正整数是不够的。如果分配猎物时，5个人分三只羊，每个人应该得到多少呢？自然地，分数就出现了。,等额分配问题,正整数,分数,主要用于处理等额分配的问题,无理数的发现重大突破,现在假设一个直角三角形的两条直角边的长度都是1，那么斜边的长度是多少呢？,无理数的发现重大突破,设斜边长是x,根据勾股定理可得，,因此斜边长度x必定是其平方等于2的一个数。这个数能否写成两个整数比的形式呢？答案是否定的，即没有任何一个分数的平方等于2,也就是说不是有理数。,x2=12+12=2,无理数的发现重大突破,不可公度量的发现，大约是在公元前470年左右，当时毕达哥拉斯早已不在人世。传说学派成员希帕苏斯发现了不可公度性，他认为边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示。当时他们正在海上泛舟集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他抛进了大海。还有一种说法是希帕苏斯因泄露了不可公度的秘密而遭此厄运。无理数的发现对毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条造成了强烈的震撼。后来，人们又陆续发现了以外的许多无理数。这些“怪物”深深地困扰着古希腊的数学家们，这就是数学史上的“第一次数学危机”。,正整数,分数,无理数,正整数,在古希腊引发了第一次数学危机,分数,无理数,班级信息栏,负数的引入,重大进步,我国公元3世纪的刘徽已经对负数有了深刻的认识。在九章算术注中，他认为“今两算得失相反，要令正负以名之。”他还认为“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”这两句话都是关于正负数的绝对值而言的，即负数的绝对值未必小，正数的绝对值未必大。这种思想与现代的数学思想是完全一致的。,中国是世界上对负数认识最早的国家，负数是在九章算术里首先发现的。但欧洲人承认负数却在16世纪，比中国晚了一千多年。,在生产实践中，人们往往需要测量相反意义的量，例如海拔，高度等等，因此负数也就应运而生了。,负数的引入,重大进步,在7世纪，印度学家也开始使用负数。负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲，但是，到了16,17世纪，欧洲的大多数数学家并不承认它是数，也不认为它是方程的根。一些数学家们甚至把负数称为荒谬的数，例如著名数学家巴斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说。,1629年，吉拉尔出版了它的著作代数新发现。在这本书中，他明确主张：负数与正数具有相同的地位;负数可以作为方程的根，他还指出，负数是正数的相反数，直到这个时期，在欧洲的数学舞台上，负数终于有了一席之地。,正整数,分数,无理数,正整数,分数,无理数,负数,零的发现,人类很早就发现了正整数、无理数、负数，但是“0”的发现却晚得多。“0”最早源自于人们表示的“没有”，用一个空位来表示它，后来才逐渐地把它当成一个数来认识，这是一个漫长的过程。在我国，战国时期人们就用“空”表示“0”了，但没有把“空”看做是一个单独的数。印度人起初也用空位表示“0”，后记成“点”，最后发展成“圆”。直到公元11世纪，包括有“0”的印度数码和十进制计数法臻于成熟。特别是印度人不仅把“0”看作是记数法中的空位，而且也把它看作可施行运算的一个特殊的数。,“0”的发明是印度人对世界文明的杰出贡献。,分数,负数,正整数,零,无理数,“0”的发明是印度对世界文明的杰出贡献,正整数,分数,零,负数,无理数,数还够用吗,小结,数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾。但是，数集扩充到实数集R以后，像+1=0这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于-1.如何解决这个问题？这就是我们今天要探讨的课题。,3.1.1,数系的扩充和复数的概念,为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数i，把i叫做虚数单位，并且规定：(1)i21；(2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,问题解决,一.复数的定义,复数的定义：形如a+bi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.,其中a叫做实部,b叫做虚部,二.复数的代数形式,通常用字母z表示，即,称为虚数单位.,问:复数集C和实数集R之间有什么关系？,三复数的分类,两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。,这就是说，如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d,需要掌握的一个充要条件,一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.,需要掌握的一个结论,现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？,不对如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小,虚数这种假设,是需要勇气的,人们在当时是无法接受的,认为她是想象的,不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数单位的假设研究:第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学家“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.,复数的发展史,后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.到今天复数已经成为现代科技中普遍运用的数学工具之一.,例1.请说出下列复数的实部和虚部，并指出有没有纯虚数？,例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么？,例3实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解:（1）当，即时，复数z是实数,（2）当，即时，复数z是虚数,（3）当,即时，复数z是纯虚数,练习1:当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数,（1）,（2）,（3）,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相