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文档简介

1,第三节矩阵的秩,2,初等变换,初等行变换,初等列变换,逆变换,3,定义2.3.1,矩阵A的行向量组的秩称为,A的行秩,矩阵A的列向量组的秩称为,A的列秩,矩阵的初等行变换不改变矩阵的行（列）秩;,矩阵的初等列变换不改变矩阵的列（行）秩;,矩阵的行秩等于矩阵的列秩,证略,定理2.3.1,定理2.3.2,4,矩阵A的行（列）秩称为矩阵的秩，,记为rank(A)或r(A)或R(A),注:,1.,2.规定,3.,由定义显然,A为n阶方阵,称A为满秩方阵或非退化（非奇异）方阵,称A为降秩方阵或退化（奇异）方阵,定义2.3.2,定义2.3.3,5,求矩阵秩的方法（P45）：,通过矩阵的初等变换，把矩阵化为一个行阶梯形，其中非零行的个数就是矩阵的秩,求矩阵A的秩：,注:,例1,6,以上只做初等行变换，,B称为行阶梯形矩阵：每个阶梯只有一行，阶梯以下的元素全为0,所以，r(A)=3,(非零行的个数）,7,C称行最简形：非零行向量的第一个非零元素为1，,且含有这些元素的列的其它元素为0,8,9,D称标准形：左上角是一个r（=r(A)）阶单位阵，其他元素都是0,一般：,10,称A与B等价,记作,具有三性：,（1）反身性,（2）对称性,（3）传递性,注:,1.,A，B有相同的标准形，,从而秩相等,2.,A的标准形是单位阵E，即,定义2.3.4,11,证明:,设A，B是两个sn矩阵,设,则AB的行向量组可以由向量组,及向量组,线性表示,所以，,定理2.3.3,12,推论,定理2.3.4,证略,推论,定理2.3.5,定理2.3.6,Amn的m个行向量线性相关,r(A)m,Amn的m个列向量线性相关,r(A)n,推论1,Amn的m个行向量线性无关,r(A)m,Amn的m个列向量线性无关,r(A)n,推论2,n个n维行（列）向量线性无关,以它们为行（列）向量作成的是一具满秩矩阵,注:,一个n阶方阵是满秩矩阵,13,小结,3.必须会求矩阵的秩.,1.基本概
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