2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）（理科答案）（最终稿）.pdf

理科数学（二）答案 第 1 页 共 14 页 绝密 启用前 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：一、选择题： 二、填空题：二、填空题： 13 4 5 145.95 153,0 16 4 3 3 ， 1 2 或或2 三解答题：三解答题： 17解： （解： （1 1）因为1a ， 3 B ，ABC的面积为 3 3 4 ， 在ABC中， 1 sin 2 ABC SacB 即 13 3 1sin 234 c ，解得3c . 由余弦定理，得 222 1 2cos1 967 2 bacacB ， 所以7b . 所以ABC的周长为abc 47 （2）解法解法 1：在ABC中，1a ，7b ，3c ， 3 B ， 由正弦定理 sinsin bc BC ， 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 B A B D A A C C C C A C 理科数学（二）答案 第 2 页 共 14 页 得 3 3 sin3 21 2 sin 147 cB C b 因为 222 2coscababC， 所以 222 cos 2 abc C ab 1 797 142 17 【或【或根据根据1a ，7b ，3c ，可知C为钝角，则 2 7 cos1 sin 14 CC 】 所以coscos 3 BCC coscossinsin 33 CC 1733 21 214214 2 7 7 . 解法解法 2：在ABC中，1a ，7b ，3c ， 3 B ， 所以 222 cos 2 abc C ab 1 797 142 17 因为C为ABC的内角， 所以 2 sin1 cosCC 2 73 21 1 1414 所以coscos 3 BCC coscossinsin 33 CC 1733 21 214214 2 7 7 . 18 （ （1）证明：）证明：连接AO， 因为侧面CCBB 11 为菱形，所以 11 BCCB， 且O为 1 BC和 1 BC的中点 因为 1 ABAC ，所以 1 AOBC 因为OBCAO 1 ，所以 1 BC 平面ABO 因为ABOAB平面，所以ABCB 1 O B1 C1 A1 C B A 理科数学（二）答案 第 3 页 共 14 页 （2）解解法法 1：因为点A在侧面CCBB 11 上的投影为点O， 所以 11 AOBBCC平面 因为 11 BCCB，所以AO，OB， 1 OB两两互相垂直 如图，以O为坐标原点，以OB， 1 OB，OA为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角 坐标系 因为 60 1 CBB，设 1 2ACBCABa，则3AOBOa 所以 0,0, 3Aa， 3 ,0,0Ba， 1 0, ,0Ba，0,0Ca 所以 3 ,0,3ABaa， 0, , 3CAaa， 11 3 , ,0AABBa a 设平面 1 BAA的法向量为 111 ,x y zm， 则 11 111 330, 30. ABaxaz AAaxay m m 取 1 1x ，则 1, 3,1m 设平面 1 CAA的法向量为 222 ,x y zn， 则 22 122 30, 30. CAayaz AAaxay n n 取 2 1x ，则 1, 3, 1n 设二面角CAAB 1 的平面角为，由图知，为锐角， 则 1 3 1 cos 55 m n m n 3 5 所以二面角CAAB 1 的余弦值为 5 3 解法解法 2：因为点A在侧面CCBB 11 上的投影为点O， 所以 11 AOBBCC平面 z y x A B C A1 C1 B1 O 理科数学（二）答案 第 4 页 共 14 页 因为 11 BCCB，所以AO，OB， 1 OB两两垂直 过O作 1 CCOE ，则E为 1 CC的四等分点，连接AE 延长EO交 1 BB于F，连接AF 因为 60 1 CBB，设 1 2ACBCABa，则3AOBOa 则 3 2 OEOFa 【或作【或作 11 BHCC，则，则 1 13 22 OEB Ha】 因为 1 CCEF， 1 CCOA，OAEFO， 所以 1 CC 平面AEF 因为 1 CC 1 AA，所以 1 AA 平面AEF 所以FAE为所求二面角的平面角 因为 2 2 315 3 22 AEAFaaa ， 所以 222 cos 2 AEAFEF EAF AEAF 3 = 5 所以二面角CAAB 1 的余弦值为 5 3 19解解： （1）因为A 2,0，B 2,0，,M x y， 所以 2 AM y k x ， 2 BM y k x 因为直线AM和BM的斜率之积为3， 所以3 22 x y x y 整理，得 22 1 26 xy 理科数学（二）答案 第 5 页 共 14 页 因为直线AM和BM存在斜率，且均不为0，所以2x 【或0y 】 所以曲线E的方程为 22 1 26 xy 2x （2）设直线ykxm与曲线E： 22 1 26 xy 的交点为 11 ,P x y， 22 ,Q xy， 因为四边形OPRQ为平行四边形，所以OROPOQ【或其他形式】【或其他形式】 所以 1212 ,R xx yy 由 22 36. ykxm xy ， 得 222 3260kxkmxm 所以 122 2 +3 km xx k ， 2 1 22 6 3 m x x k 所以 1212 2 6 2 3 m yyk xxm k 由 2222 44360k mkm ，得 22 26km 因为点 1212 ,R xx yy在曲线E上， 所以 22 22 26 36 33 kmm kk ，即 22 23km 因为 22 26km，即 22 2 236mm ，解得 2 0m 当直线PQ过点02，时， km2 ，代入 22 23mk ， 所以 2m ，此时不符合题意 因为 22 230mk，所以 6 2 m 或 6 2 m 所以m的取值范围为 66 ,22, 22, 22 理科数学（二）答案 第 6 页 共 14 页 20解： （解： （1）因为 2 2 100 20 45 10 25 30 70 45 55 k 16900 8.1296.635 2079 所以有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关 （2） （i）因为用表中的样本频率作为概率的估计值， 所以借阅科技类图书的概率 303 10010 p 因为3名借阅者每人借阅一本图书，这 3 人增加的积分总和为随机变量， 所以随机变量的可能取值为3，4，5，6 03 0 3 37343 3C 10101000 P ， 12 1 3 37441 4C 10101000 P ， 21 2 3 37189 5C 10101000 P ， 30 3 3 3727 6C 10101000 P 从而的分布列为： 3 4 5 6 P 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 所以 34344118927 3456 1000100010001000 E 3.9 （ii）解法解法 1：记16人中借阅科技类图书的人数为X， 则随机变量X满足二项分布 3 16,10XB 设借阅科技类图书最有可能的人数是k0,1,2,16k ， 则 1 , 1 . P XkP Xk P XkP Xk 即 16117 1 1616 16115 1 1616 3737 CC, 10101010 3737 CC. 10101010 kkkk kk kkkk kk 解得 5.1, 4.1. k k 即4.15.1k 理科数学（二）答案 第 7 页 共 14 页 因为kN，所以5k 所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人 解法解法 2：记16人中借阅科技类图书的人数为X， 则随机变量X满足二项分布 3 16,10XB 设借阅科技类图书最有可能的人数是k0,1,2,16k ， 则 16 16 37 = C 1010 kk k P Xk 因为 16 16 117 1 16 37 C 51 101010 =1 17 37 C 1010 kk k kk k P Xkk P Xkk 所以当5k时， 1 1 P Xk P Xk ，6k时， 1 1 P Xk P Xk 即015616P XP XP XP XP X 所以5P k 最大 所以16人借阅科技类图书最有可能的人数是5人 【若【若由由E X 3 16=4.8 10 ， 说明借阅科技类图书最有可能的人数是， 说明借阅科技类图书最有可能的人数是5人人 共给 共给2分分】 21 （ （1）证法证法 1：若1a ，则 lnsinf xxxx 要证 21f xx，即证：lnsin10 xxx 设 lnsin1 1 2 g xxxxx ， 则 11 cos1cos x gxxx xx 因为1 2 x ，所以 0gx所以 g x在1, 2 单调递减 所以 1 =ln1 sin1 1 1sin10g xg 理科数学（二）答案 第 8 页 共 14 页 所以当1, 2 x 时， 21f xx 证证法法 2：若1a ，则 lnsinf xxxx 要证 21f xx，即证ln+1 sinxxx 设 ln1h xxx 1 2 x ，则 11 1 x h x xx 因为1 2 x ，所以 0h x所以( )h x在1 2 ，上单调递减 所以 1ln1 1+1 0h xh 因为1 2 x ，所以sin0 x 所以ln+1 sinxxx 所以当1, 2 x 时， 21f xx （2）因为 lnsinf xxxax0a ，所以 1 =cosfxxa x 若0,1 x ，则 1 cos0fxxaa 此时函数( )f x单调递增，无极值点 若1 2 x ，设 g x 1 =cosfxxa x ，则 2 1 +sinxgx x 设 2 1 +sinxhx x ，则 3 2 +cos0 xhx x ，所以 g x在1, 2 上单调递增 【或或由由 2 1 y x 与与sinyx在在 1, 2 上分别单调递增上分别单调递增，所以所以( )g x在在 1, 2 上单调递增上单调递增】 因为 11 sin1 0 2 g ， 所以存在唯一 0 1 2 x ，满足 00 0 2 0 1 +sinxgx x ，即0 0 1 sin=x x 当 0 1,xx 时， 0g x ， g x单调递减，当 0 , 2 xx 时， 0g x ， g x单 理科数学（二）答案 第 9 页 共 14 页 调递增 则 000000 min 0 1 =cos+sincossincos0 xxggxaxxaxx x 所以 0g xfx 恒成立 此时( )f x单调递增，无极值点 若 3 , 22 x ，则cos0 x，所以 1 =cosfxxa x 1 +0a x 此时函数( )f x单调递增，无极值点 若 3 , 2 2 x ，此时 f x必存在1个极值点 设 1 cosg xfxxa x ，则 2 1 +sin0 xgx x ，所以( )g x单调递减 则 32 +0 23 1 21+0. 2 ga ga ， 解得 21 1 32 a 已知0a，所以 1 01 2 a 所以存在唯一 0 3 ,2 2 x ，满足 0 ()=0g x 当 0 3 , 2 xx 时，( )( )0g xfx， xf单调递增， 当 0,2 xx时，( )( )0g xfx， xf单调递减 故 0 x是函数 xf的极大值点 综上可知，若 xf在 0,2上有且仅有1个极值点，则a的取值范围为 1 0 1 2 ， 补充补充：理科理科 21 题将题将合并讨论，合并讨论，解解法如下：法如下： 若0 2 x ，设 g x 1 =cosfxxa x ，则 2 1 +sinxgx x 设 2 1 +sinxhx x ，则 3 2 +cos0 xhx x ，所以 g x 在0, 2 上单调递增 【或由【或由 2 1 y x 与与sinyx在在 0, 2 上分别单调递增上分别单调递增，所以所以 ( )g x 在在 0, 2 上单调递增上单调递增】 理科数学（二）答案 第 10 页 共 14 页 因为 11 sin1 0 2 g ， 所以存在唯一 0 1 2 x ，满足 00 0 2 0 1 +sinxgx x ，即00 0 sin 1 =xx x 当 0 0,xx 时， 0g x ， g x单调递减，当 0 , 2 xx 时， 0g x ， g x单 调递增 则 00 min 0 1 =cos+xxggxa x 因为 0 (1,) 2 x ，所以 000 sincos,1xx x， 所以 000000 sin=cossincos0 xxxgxaxx 所以 0g xfx 恒成立 此时( )f x单调递增，无极值点 22 （1）解：解：由 cos , 2sin x y ， 得 cos , 2sin . x y 所以曲线 1 C的直角坐标方程为 22 (2)1xy 由 2 2 4 1 3sin 得 2 2 3sin4 因为 222 xy，siny， 所以曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y （2）解法解法 1：因为点P在曲线 2 C： 2 2 1 4 x y上， 所以可设点P的坐标为2cos ,sin 因为曲线 1 C的直角坐标方程为 22 (2)1xy， 所以圆心为 1 0 2C，半径1r 理科数学（二）答案 第 11 页 共 14 页 所以 222 2 1 2cossin21PAPCr 2 225 3 sin 33 当 2 sin 3 时，PA有最大值 5 3 3 所以PA的最大值为 5 3 3 解法解法 2：因为点P在曲线 2 C： 2 2 1 4 x y上， 所以可设点P的坐标为 00 ,xy，其中 2 2 0 0 1 4 x y 因为曲线 1 C的直角坐标方程为 22 (2)1xy， 所以圆心为 1 0 2C，半径1r 所以 22 22 100 21PAPCrxy 2 0 225 3 33 y 因为 0 11y ， 所以当 0 2 3 y 时，PA有最大值 5 3 3 所以PA的最大值为 5 3 3 23 （1）解法解法 1： ( )122f xxx 3,1 31,11 3,1. xx xx xx ， ， 因为函数 f x在,1上单调递增，在1,上单调递减 所以当1x 时， f x取得最大值 2，所以2ab 因为2ab，即2ba， 理科数学（二）答案 第 12 页 共 14 页 所以 2 2 222 28 2223 33 abaaa 所以当 2 3 a 时， 22 2ab取得最小值 8 3 解法解法 2：因为122xx111xxx (1)(1)1xxx（当且仅当 1x或1x时取等号） 21x 2（当且仅当1x 时取等号） 所以当且仅当1x 时， f x取得最大值 2，所以2ab 由柯西不等式，得 2 2 22 12 2124 22 ababab 所以 22 8 2 3 ab，当且仅当 2 21 2 2, ab ab ， 即 2 3 4 3 a b ， 时取等号 所以 22 2ab的最小值为 8 3 （2）证明证明 1：因为2ab，0a ，0b， 要证 ab a bab，即证lnlnlnlnaabbab 即证1 ln1 ln0aabb