1导数与微分(一).ppt

导数与微分,(一),二、一元函数微分学（一）导数与微分,（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。,（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。,（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。,（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。,（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。,（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，,会求分段函数的导数。,【主要内容】,一、导数的概念,导数与微分,设函数在点及其附近有定义,当在处取得改变量时，相应地,1、导数的定义,函数有改变量,若极限,导数与微分,存在，则称该极限值为函数在,点处的导数，记作,或,即,导的，否则称函数在点不可导,导数与微分,导数的另一种表示形式：,或,若，则等价形式为：,导数与微分,说明：,对于函数在点处可导的定义，,需要更进一步的理解为结构式是：,的导数,的结构式，其极限值也为函数在点,解：,导数与微分,导数与微分,导数与微分,4.设在点可导，且则,()时,有,5.设函数在处可导，,当,练习,导数与微分,导数与微分,2、左、右可导,称,为函数在点处的左导数。,称,导数与微分,为函数在点处的右导数。,说明：,解：,在处可导，从而也连续。,导数与微分,导数与微分,3、区间可导,区间内可导：,若函数在内每一点都可,导，则称函数在区间内可导。,区间内可导：,在区间内可导，且在左端点,存在右导数(即存在),在,右端点存在左导数(存在)。,1.可导的奇函数的导函数为偶函数，可导的偶函数的导函数为奇函数.,2.可导的周期函数的导函数仍为周期函数.,【说明】,导数与微分,4、导数的几何意义,就是曲线在点,处的切线的斜率。,即,函数在点的导数,切线,法线,判断：,（1）若则在的切线平行于x轴.,（2）若在的切线垂直于x轴，则在的导数不存在.,若存在，则曲线在有切线.,导数与微分,(1)、在点处的切线方程,(2)、在点处的法线方程,4、导数与连续的关系,数在处一定连续。,若函数在点处可导，则函,重要结论：,在点可导在点有定义,在点有定义在点可导,在点可导在点连续,在点连续在点可导,在点不连续在点不可导,解：,所以所求切线方程为：,即,所以所求法线方程为：,即,导数与微分,导数与微分,二、求导公式,1、基本初等函数的导数公式,(1)、常函数,(2)、幂函数,(3)、指数函数,(4)、对数函数,(5)、三角函数,导数与微分,导数与微分,(6)、反三角函数,导数与微分,导数与微分,2、导数的四则运算法则,导数与微分,特别地：,说明：,1、在求导数运算中，一般先用法,则，再用基本公式。,2、若把根式写成幂(如),的形式，这样便于运用公式减少出错。,解：,导数与微分,3、解题时先观察函数能否变形或化简，运算中尽可能地避免用导数的除法法则。,4、导数的乘法法则和除法法则与极限相应的法则不同，运算相应要复杂，计算时要十分细心。,导数与微分,5、导数公式中的自变量可以是，,解：,也可以是其它字母如：,导数与微分,导数与微分,导数与微分,3、复合函数的求导法则,若函数在点处可导，,在处可导，则复合函数在,在点处也可导，且,或,(1)、定理,导数与微分,(2)、复合函数求导的方法,运用复合函数求导法则的关键：,在于把复合函数分解成基本初等函数,或基本初等函数的和、差、积、商，,然后运用复合函数求导法则和适当的,导数公式进行运算。,复合函数求导后必须把引进的中,间变量代换成原来的自变量的式子。,解法一：,令,由定理知：,导数与微分,导数与微分,解法二：,解：,导数与微分,导数与微分,导数的基本公式与运算法则,导数的基本公式与运算法则,解:,2、令,3、令,4、令,5、令,6、令,导数的基本公式与运算法则,7、令,8、令,9、令,导数的基本公式与运算法则,10、令,11、令,导数的基本公式与运算法则,12、令,导数的基本公式与运算法则,13、令,14、令,导数的基本公式与运算法则,答案,导数与微分,特别地：,表示在点处的导数值，,即,表示对中间变量,导数与微分,求导，即,表示复合函数对,求导，因此有,导数与微分,如：,导数与微分,解：,则有,导数与微分,4、分段函数的导数,步骤：,当时，按导数公式求,若在分段点不连续，则函数,在处不可导。,导数与微分,若,计算与,则在点处,可导.,导数与微分,若在分段点处，不可导，则有,若在分段点处，可导，则有,对于多个分段点，方法同上,导数与微分,解：,在处可导,在处连续,由,即,导数与微分,由,则有,从而,导数与微分,练习,设函数在处可导，,求常数,解：,在处可导,在处连续,即,导数与微分,且,在处可导,即,导数与微分,三、隐函数的导数,对隐函数求导通常有两种类型：,1、隐函数能化为显函数,2、隐函数不能化为显函数,导数与微分,隐函数求导步骤：,1、将方程两端对自变量,求导。,注意：在求导过程中视为的函数，,利用复合函数求导法则。,在此表达式中允许含有,2、求导之后得到一个关于的方,程，解此方程求出的表达式。,解：,两端对自变量求导，则,即,解得,即所求的导函数为：,导数与微分,导数与微分,1、两端对自变量求导，则,答案：,导数与微分,2、两端对自变量求导，则,即,导数与微分,导数的基本公式与运算法则,导数的基本公式与运算法则,解：,1、两端对自变量求导，则,导数的基本公式与运算法则,2、两端对自变量求导，则,导数的基本公式与运算法则,3、两端对自变量求导，则,即,导数的基本公式与运算法则,4、两端对自变量求导，则,导数与微分,四、对数求导法,1、幂指函数,2、取对数求导法则,(1)、先在函数的两边取对数,(2)、等式两边分别对求导数，最,后解出,3、使用范围,（1）、幂指函数,（2）、函数表达式中积、商、乘,方和开方运算较多的函数的导数,解：,在等式两边取对数，得,导数与微分,两边求导,得：,导数与微分,解：,在等式两边取对数，得,两端对自变量求导，则,导数与微分,导数与微分,导数与微分,5.由参数方程所确定的函数的导数,则求导法则为：,或,若x与y的关系有参数方程表示为,求,求,1、二阶导数,的二阶导数，记作,或,四、高阶导数,导数与微分,2、三阶导数,或,3、n阶导数,或,导数与微分,说明：,数值,即:,导数与微分,4、求高阶导数的法则,式,应用通项表示出来.,导数与微分,求的二阶导数,例13,解：,导数与微分,导数与微分,解：,导数与微分,解：,解：,导数与微分,例17,求,导数与微分,导数与微分,2、,1、,3、,为正整数,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数与微分,导数