隐函数存在定理.ppt

华北科技学院基础部,1,2020年6月1日星期一,第16章,隐函数存在定理函数相关,数学分析（2）,华北科技学院基础部,2,2020年6月1日星期一,16.1隐函数存在定理,一、F(x,y)=0情形,二、多变量情形,三、方程组情形,华北科技学院基础部,3,2020年6月1日星期一,前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。,本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。,1、隐函数概念,显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示,的函数称为显函数例如：,一、F(x,y)=0情形,华北科技学院基础部,4,2020年6月1日星期一,方程式所确定的函数,通常称为隐函数例如：,隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个,注2不是任一方程都能确定隐函数,例如显然不能确定任何隐函数,注1隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为，这,与它能否用显函数表示无关,华北科技学院基础部,5,2020年6月1日星期一,注3一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关.,(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),华北科技学院基础部,6,2020年6月1日星期一,等.,条件时，由F(x,y)=0能确定隐函数y=f(x)并使,要讨论的问题是：当函数满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质?,2、隐函数存在性条件分析,华北科技学院基础部,7,2020年6月1日星期一,唯一确定隐函数,（1）连续,（1）连续曲线存在,使,（2）可微,（2）存在切线,交线,2、隐函数存在性条件分析,华北科技学院基础部,8,2020年6月1日星期一,曲面,在,点有切平面且切平面的法线不平行于,轴（即切平面不是,平面）,切平面的法向量为,与,不共线,（即,不能同时为零）,交线存在切线，意味着一元函数的可微性，也要求,华北科技学院基础部,9,2020年6月1日星期一,:z=F(x,y),:F(x,y)=0,P0(x0,y0),图1隐函数存在性条件分析示意图,:y=f(x),F(x0,y0)=0,y0=f(x0),F(x,f(x)=0,(满足一定条件或在某一局部),华北科技学院基础部,10,2020年6月1日星期一,3、隐函数存在定理,定理1(隐函数存在惟一性定理)设方程F(x,y)=0中,的函数满足以下三个条件：,(ii)(初始条件)；,则有如下结论成立：,(i)在区域,(iii),F(x,y)=0惟一地确定了一个隐函数,(i)存在某邻域，在内由方程,华北科技学院基础部,11,2020年6月1日星期一,它满足：,且当时,使得,证首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有以下四个步骤(见图2)：,(iii),华北科技学院基础部,12,2020年6月1日星期一,图2隐函数存在性与惟一性分析示意图,华北科技学院基础部,13,2020年6月1日星期一,(a)“一点正,一片正”,由条件(iii)，不妨设,因为连续，,保号性，使得,(a)一点正,一片正,D,P0,所以根据连续函数的,华北科技学院基础部,14,2020年6月1日星期一,(b)“正、负上下分”,因故,把看作的函数，它在上,严格增，且连续(据条件(i),华北科技学院基础部,15,2020年6月1日星期一,因为关于连续，故由,(b)的结论，根据保号性，使得,(c)“同号两边伸”,(d)“利用介值性”,因关于连续,且严,格增，故由(c)的结论，依据介值性定理,存在惟,华北科技学院基础部,16,2020年6月1日星期一,就证得存在惟一的隐函数:,由的任意性,这,若记则定理结论得证,下面再来证明上述隐函数的连续性:,欲证上述在连续.,华北科技学院基础部,17,2020年6月1日星期一,类似于前面(c)，使得,由对严格增，而,推知,如图3所示,小，使得,华北科技学院基础部,18,2020年6月1日星期一,在上处处连续,因此在连续.由的任意性,便证得,且当时，有,类似于前面(d)，由于隐函数惟一，故有,最后再来证明y=f(x)可微性:,华北科技学院基础部,19,2020年6月1日星期一,使用微分中值定理,使得,设则,由条件易知F可微，并有,华北科技学院基础部,20,2020年6月1日星期一,显然也是连续函数,因都是连续函数,故时,并有,华北科技学院基础部,21,2020年6月1日星期一,华北科技学院基础部,22,2020年6月1日星期一,注1定理1的条件(i)(iii)既是充分条件,又,是一组十分重要的条件.例如：,(双纽线),在,点同样不满足,条件(iii);如图4,在该点无论多么小,的邻域内,确实不能,确定惟一的隐函数.,华北科技学院基础部,23,2020年6月1日星期一,注3必须注意,定理1是一个局部性的隐函数存,在定理例如从以上双纽线图形看出:除了(0,0),三点以外,曲线上其余各点处都存在,注2条件(iii)在证明中的作用只是用来保证在邻,域内关于为严格单调,局部隐函数.,的.当条件(iii)改为(其它条件不变),时，将存在局部的连续隐函数,华北科技学院基础部,24,2020年6月1日星期一,例1,。,，,在该邻域内可唯一确定可微的隐函数,华北科技学院基础部,25,2020年6月1日星期一,例2方程,内确定隐函数,或,？,能否在原点的某邻域,解：令,则,，,他们都在全平面上连续.,故方程在,点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数,由于,，据此无法断定是否在,点的某邻域内,存在。,有隐函数,华北科技学院基础部,26,2020年6月1日星期一,例3试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,解令它有连续的,求解,分别得到,华北科技学院基础部,27,2020年6月1日星期一,所以，除这,三点外，曲线上在其他,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除这五点外，曲线上,华北科技学院基础部,28,2020年6月1日星期一,二、多变量情形,定理2设函数F(x1,x2,xn;y)满足以下条件,则有如下结论成立：,(i)在区域,(iii),(i),上具有对一切变量的连续偏导数.,方程F(x1,x2,xn;y)=0惟一确定一个函数,(ii)(初始条件)；,y=f(x1,x2,xn),华北科技学院基础部,29,2020年6月1日星期一,(ii)y=f(x1,x2,xn)在内连续；,(iii)y=f(x1,x2,xn)在内对各变量有连续偏,导数，且,华北科技学院基础部,30,2020年6月1日星期一,例4设,问方程是否在原点,地确定可微函数,，其中,属于,某个邻域，使得,的某邻域唯一,点的,解：令,.显然,的偏导数，且,由,，,知，存在,，使得在,有唯一的可微函数,，满足：,在全平面有连续,华北科技学院基础部,31,2020年6月1日星期一,设有一组方程,则称由(1)确定了隐函数组,之对应,能使,其中定义在若存在,三、方程组情形,华北科技学院基础部,32,2020年6月1日星期一,并有,关于隐函数组的一般情形(含有m+n个变量的,m个方程所确定的n元隐函数)，与此同理.,华北科技学院基础部,33,2020年6月1日星期一,定理3(隐函数组定理)设方程组(1)中的函数,F与G满足下列条件：,(i)在以点为内点的某区域,内有连续的偏导数；,(ii)(初始条件);,(iii),则有如下结论成立：,华北科技学院基础部,34,2020年6月1日星期一,确定惟一一组隐函数,它们被定义在(x0,y0)的某个邻域U内，且满足,及,(ii)在U内连续；,华北科技学院基础部,35,2020年6月1日星期一,且有,本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释:,由方程组(1)的第一式确定隐,函数,华北科技学院基础部,36,2020年6月1日星期一,将代入方程组(1)的第二式,得,再由此方程确定隐函数并代回至,这样就得到了一组隐函数,通过详细计算,又可得出如下一些结果:,华北科技学院基础部,37,2020年6月1日星期一,华北科技学院基础部,38,2020年6月1日星期一,例5设有方程组,试讨论在点的近旁能确定怎样的隐函,数组？并计算各隐函数在点处的导数.,解易知点满足以上方程组.设,华北科技学院基础部,39,2020年6月1日星期一,它们在上有连续的各阶偏导数.再考察,在点关于所有变量的雅可比矩阵,由于,华北科技学院基础部,40,2020年6月1日星期一,因此由隐函数组定理可知,在点近旁可以惟一,地确定隐函数组:,但不能肯定y,z可否作为x的两个隐函数.,华北科技学院基础部,41,2020年6月1日星期一,运用定理3的结论,可求得隐函数在点P0处的,导数值:,华北科技学院基础部,42,2020年6月1日星期一,且,解：,例6,华北科技学院基础部,43,2020年6月1日星期一,定理4设有m个函数,(i),(ii),(iii),（初始条件）,华北科技学院基础部,44,2020年6月1日星期一,则有如下结论成立：,华北科技学院基础部,45,2020年6月1日星期一,(ii)这一组函数fi在内连续；,(iii)这一组函数fi在内对各变量有连续偏导数，,且,华北科技学院基础部,46,2020年6月1日星期一,练习题,1.方程在点的的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的连续、可微函数？,解答提示,结论：,华北科技学院基础部,47,2020年6月1日星期一,解答提示,华北科技学院基础部,48,2020年6