利用an与sn的关系解题

利用与的关系解题例1.（1994全国文，25）设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Sn=.证明：an是等差数列.解：证法一：令d=a2a1，下面用数学归纳法证明an=a1+（n1）d（nN*）当n=1时，上述等式为恒等式a1=a1，当n=2时，a1+（21）d=a1+（a2a1）=a2，等式成立.假设当n=k（kN，k2）时命题成立，即ak=a1+（k1）d由题设，有，又Sk+1=Sk+ak+1，所以+ak+1将ak=a1+（k1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k1）d+2ak+1整理得（k1）ak+1=（k1）a1+k（k1）dk2，ak+1=a1+（k+1）1d.即n=k+1时等式成立.由和，等式对所有的自然数n成立，从而an是等差数列.证法二：当n2时，由题设，所以同理有从而整理得：an+1an=anan1，对任意n2成立.从而an是等差数列.评述：本题考查等差数列的基础知识，数学归纳法及推理论证能力，教材中是由等差数列的通项公式推出数列的求和公式，本题逆向思维，由数列的求和公式去推数列的通项公式，有一定的难度.考生失误的主要原因是知道用数学归纳法证，却不知用数学归纳法证什么，这里需要把数列成等差数列这一文字语言，转化为数列通项公式是an=a1+（n1）d这一数学符号语言.证法二需要一定的技巧.例2.（2010年高考安徽卷理科20）设数列中的每一项都不为0. 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有.证：先证必要性.设数列的公差为.若，则所述等式显然成立.若，则.再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切都成立.首先，在等式， 两端同乘，即得，所以成等差数列.记公差为，则.假设，当时，观察如下二等式， ， 将代入，得.在该式两端同乘，得.将代入其中，整理后，得.由数学归纳法原理知，对一切，都有.所以是公差为的等差数列.证法2：（直接法）， ，-得，在上式两端同乘，得， 同理可得， - 得，即，所以是等差数列.例3.（1997全国文，21）设Sn是等差数列an前n项的和，已知S3与S4的等比中项为的等差中项为1，求等差数列an的通项an.解：设等差数列an的首项为a，公差为d，则an=a+（n1）d，前n项和为Sn=na+，由题意得其中S50.于是得整理得 解得由此得an=1；或an=4（n1）=n.经验证an=1时，S5=5，或an=n时，S5=4，均适合题意.故所求数列通项公式为an=1，或an=n.评述：该题考查了数列的有关基本知识及代数运算能力，思路明显，运算较基本.例4.在数列中，+2+3+=，求.例5. 解析：令=+2+3+=， 则=+2+3+=， 则=， =.定理 设数列的前n项和为，（），则数列是等差数列的充要条件是证明 若，则当时，满足等式；当时，整理得因为，所以故是以为首项，为公差的等差数列若是等差数列，则，故故例5. (1994年全国高考题)设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项(1)写出数列an的前3项；(2)求数列an的通项公式(写出推证过程)；(3)令，求解：(1)由题意，当n=1时有，S1=a1，解得a1=2当n=2时有，S2=a1+ a2，a1=2代入，整理得(a22)2=16由a20，解得 a2=6当n=3时有，S3=a1+ a2+ a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a32)2=64由a30，解得 a3=10故该数列的前3项为2，6，10(2)解法一：由(1)猜想数列an有通项公式an =4n2下面用数学归纳法证明数列 an 的通项公式是an =4n2 (nN)当n=1时，因为412=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立假设n=k时结论成立，即有ak=4k2由题意，有，将ak=4k2代入上式，得2k= ，解得Sk=2k2由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入，得=2(ak+1+2k2)，整理得4 ak+1+416 k2=0由ak+10，解得ak+1=2+4k所以ak+1=2+4k=4(k+1)2这就是说，当n=k+1时，上述结论成立根据、，上述结论对所有的自然数n成立解法二：由题意，有，整理得Sn=(an+2)2，由此得 Sn+1 =(an+1+2)2，an+1= Sn+1Sn =(an+1+2)2(an+2)2，整理得(an+1+ an)( an+1an4)=0，由题意知 an+1+an0，an+1an=4即数列 an 为等差数列，其中a1=2，公差d=4an =a1+(n1)d=2+4(n1)，即通项公式为an =4n2(3)解：令cn=bn1，则，b1+b2+bnn=c1+c2+cn=. 例5.（2006年湖南高中联赛）设是正数数列，其前n项和Sn满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，试求的前n项和Tn.解、（1）由及得，3. 由得.故，.是以3为首项，2为公差的等差数列，故2n1.（2）2n1，。 Tn.例2在正项数列中，前项和，求数列的通项公式. 解 在中，令，得，将代入已知式子，得，即，.故是公差为1，首项=1的等差数列=，.符合上式.数列的前项和为且满足，求解：由 有：，两式相减得： 即：，两边同除以，得： ，令，则，从而 。 故。例4 已知数列的前n项和，求数列的通项公式： =n+2n； =n-2n-1.解：当n2时，=-=(n+2n)-(n-1)+2(n-1)=2n+1；当n=1时，=1+21=3；经检验，当n=1时，2n+1=21+1=3，=2n+1为所求.当n2时，=-=(n-2n-1)-(n-1)+2(n-1)-