D8.1.2_第二型曲线积分.ppt

8.1.2第二型曲线积分,矢量场初步,例1.,例2.,矢量场初步,例3.,例4.,变力沿曲线所作的功,设一质点受如下变力作用,在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W.,常力沿直线所作的功,1.第二型曲线积分的概念,“大化小”,“常代变”,“近似求和”,“取极限”,解决办法:,1)“大化小”.,2)“常代变”,把L分成n个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3)“近似和”,4)“取极限”,(其中为n个小弧段的最大长度),定义.,设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑,弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L称为积分弧段或积分曲线.,称为被积函数,在L上定义了一个向量函数,极限,若为空间曲线弧,记,称为对x的曲线积分;,称为对y的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,性质,(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)用L表示L的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,例1.,注：,：为方向余弦,2.第二型曲线积分的计算,例2.,解：,例3.,解：,，取逆时针方向。,，取逆时针方向。,定理:,在有向光滑弧L上有定义且,L的参数方程为,则曲线积分,连续,*证明:下面先证,存在,且有,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L为光滑弧,同理可证,其他情形,(3)对空间光滑曲线弧:,类似有,代,将L的参数方程代入被积函数,换,定限,下限起点参数值,上限终点参数值,一代、二换、三定限,例4.计算,其中L为沿抛物线,解法1取x为参数,则,从点,的一段.,例4.计算,其中L为沿抛物线,从点,的一段.,解法2取y为参数,例5.计算,其中L为,(1)半径为a圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0).,解:(1)取L的参数方程为,(2)取L的方程为,则,则,例6.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:(1)原式,(2)原式,(3)原式,例7.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,例8.求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,解:取的参数方程,设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,3.第一型与第二型积分的关系,类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是,令,二者夹角为,*例9.设,曲线段L的长度为s,证明,续,证:,设,说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,*例10.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L沿上半圆周,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧:,原点O的距离成正比,思考与练习,*1.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,2.已知,为折线ABCOA(如图),计算,提示:,*3.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.,沿直,*4.设曲线C为曲面,与曲面,从ox轴正向看去为逆