泛函分析第3章连续线性算子与连续线性泛函

第3章 连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个维向量空间映射到另一个维向量空间的运算，就是借助于行列的矩阵对中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。定义3.1 由赋范线性空间中的某子集到赋范线性空间中的映射称为算子，称为算子的定义域，记为，为称像集为算子的值域，记作或。若算子满足：（1）（2）称为线性算子。对线性算子，我们自然要求是的子空间。特别地，如果是由到实数（复数）域的映射时，那么称算子为泛函。例3.1 设是赋范线性空间，是一给定的数，映射是上的线性算子，称为相似算子；当时，称为单位算子或者恒等算子，记作。例3.2 ，定义由积分的线性知，是到空间中的线性算子。若令则是上的线性泛函。定义3.2 设是两个赋范线性空间，是线性算子，称在点连续的，是指若，则；若在上每一点都连续，则称在上连续；称是有界的，是指将中的有界集映成中有界集。定理3.1 设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性算子，若在某一点 连续，则在上连续。证明：对，设，且，于是，由假设在点连续，所以当时，有因此，即在点连续。由的任意性可知，在上连续。定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。特别地，线性算子的连续性可由零元的连续性来刻画，即线性算子连续等价于若（中零元），则（中零元）。例3.3 若是维赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，则在上连续。证明：在中取一组基，设且，即，则从而。于是因此，即在处连续，进而在上每点连续。定理3.2 设是赋范线性空间，是的子空间到中的线性映射，则有界的充分必要条件是：存在常数，使不等式成立，即 证明：必要性。因有界，所以将中的闭单位球映成中的有界集，即像集是中的有界集。记，此时，对每个，由的定义有 （3.1）即，而当时，不等式（3.1）变成等式。故有 充分性。设是的任一有界集，则存在常数使。由知故有界。证毕。定理3.3 设是两个赋范线性空间，是从的子空间到中的线性映射，则是连续的充要条件是是有界的。证明：充分性。设有界，则存在常数，使对一切，从而对有即。所以，是连续的。必要性。若连续但是无界的，那么对每个，必存在，使，令，那么，即，由的连续性，但是另一方面，引出矛盾，故有界。定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用表示到的有界线性算子组成的集合。例3.1 ，例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。例3.4 考察定义在区间上的连续可微函数全体，记作，其中范数定义为，不难证明，微分算子是把映入中的线性算子。取函数列，显然，但因此，微分算子是无界的。定义3.3 设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，对一切，满足的正数的下确界，称为算子的范数，记作。由定义可知，对一切，都有。定理3.4 设是赋范线性空间，是从到的有界线性算子，则有证明：由，易得 （3.2）根据的定义，对于任给的，存在非零，使令，则有，因此令得 （3.3）由式（3.2）和式（3.3），便得而，由定义易知。例3.5 在上定义算子如下（1）把视为到的算子，求；（2）把视为到的算子，求。解：算子的线性是显然的，下面分别求。（1）设：，任取，由于，从而 故是有界的，并且。另一方面，取，并且于是故。（2）设：，任取，由于，从而 因此，是有界的，并且；另一方面，对任何使得的自然数，作函数显然,且，而所以，又有因此，。此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。例3.6 设在上连续，定义算子：为则，且证明：由于故结论成立。事实上，还可以进一步证明由于证明要用到实分析知识，这里从略。例3.7 已知实矩阵，定义为，则，且。证明： 故 对于赋范线性空间上的线性泛函，我们总视为到数域所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。对于赋范线性空间上的线性泛函，由于，所以，因而的范数就是。对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。定理3.5 设是赋范线性空间，是上的线性泛函，则：（1）是连续的充要条件是的零空间是的闭子空间；（2）非零线性泛函是不连续的充要条件是在中稠密。证明：（1）必要性：设是上的线性泛函，又设，由的连续性可得。因此，所以是的闭子空间。充分性：设是闭集，如果不是有界线性泛函，则对每个自然数，必有使得。令，则，即，并且即。但是，从而。这和是闭集矛盾。因此，是有界的。（2）必要性：设是连续的，由定理3.1知在点不连续，从而存在，但，对，显然有并且，所以在中稠密。充分性：假设是连续的，由在中稠密可知，对，存在，使，从而这与假设非零矛盾。证毕。我们现在考虑由赋范线性空间到赋范线性空间的有界线性算子的全体的性质。对任意，规定显然，及都是线性算子，称为与的和，为与的积，易验证按这两种运算是一个线性空间，不仅如此，对每个有界线性算子，算子范数还满足三个条件：（1），若，则对一切，即；（2）；（3）。因此，是一个赋范线性空间，我们称其为有界线性算子空间，简称线性算子空间。一般说来，不一定是完备的，但是我们有如下的定理：定理3.6 设是完备的赋范线性空间，则是完备的。证明：如果设为一Cauchy列，即则对，必有这说明是中的Cauchy列，由的完备性，在中存在惟一的一个元，记为使得。于是，就是从到的一个算子，其线性可由的线性推得。又由于因而知数列收敛，即有数使得，由此推得故为有界线性算子，即。由于，故对，存在自然数，使得时，有。于是有。固定，令，可得出。又由于，因而有，且由以上不等式可推出 即，所以空间是完备的。证毕。注：赋范线性空间上的有界线性泛函全体按前面所引入的运算与所规定的范数构成一个Banach空间，称之为的共轭空间，记作。习题3.11.设，证明：是的闭子空间。 2.设，证明：复合算子满足。3.，定义为及为。（1）问与可交换吗？（即是否成立？）（2）求及。4.设为所有有界数列组成的线性空间，范数为给定无穷矩阵，满足，定义算子为，其中，且证明：，且。5.设，在上定义范数矩阵定义算子为证明：。6.设连续且可加，即对任意有，证明：必为，其中为常数。7. 设和都是Banach空间，且是满射，证明：对中任意稠密子集，成立。8.设是Banach空间，且，定义为的次复合，为单位算子，证明算子级数在中收敛，且（零算子）。3.2 共鸣定理及其应用许多数学问题的研究都涉及有界线性算子列的收敛性与一致有界问题，Banach-Steinhaus定理对这一问题给出了回答。定义3.4 设称一致收敛于，是指，即在算子范数意义下收敛，记为；称强收敛于，是指对，记为。由定义易知，。但是，反之不成立。例如，定义，则，但是，若记则，故所以对任意自然数，有，即，故不成立。容易证明，有界线性算子列一致收敛于有界线性算子的充要条件是在的单位球上一致收敛于。定义3.5 设是一个度量空间，称是中的稀疏集，是指在中的任何一个非空开集中均不稠密。又称是第一纲的，是指可表示成至多可列个稀疏集的并，不是第一纲的度量空间称为第二纲的。例3.8 有理数集，定义度量，则是第一纲的，因为，而单点集是中的稀疏集。下面是关于完备度量空间的一个重要定理，即Baire纲定理，它是证明共鸣定理的关键。定理3.7 设是完备的度量空间，则是第二纲的。证明：用反证法。若存在一列稀疏集使，任取一个闭球，由于在开球中不稠密，从而可取一个闭球，满足；又在开球中不稠密，同理，取闭球，满足，按上述过程一直进行下去，可得出闭球列满足如下条件：（1）；（2）；（3）。由条件（3）知，的直径，由闭球套定理，存在，且，但是从条件（2）中又有，矛盾，故是第二纲的。证毕。应用上述定理来证明共鸣定理。定理3.8（共鸣定理） 设是banach空间，是赋范线性空间，算子簇，若对任意，满足那么证明：定义上的泛函为，则且容易验证满足记 则。首先证是闭集。设，对每个，因是连续的，所以，更有，又，故，即。因是完备的，由定理3.7，必存在自然数，使不是稀疏集，从而存在开球使在中稠密，是闭的，所以。对任一，注意到则所以。对每个，即进一步有证毕。上述共鸣定理说明，对每个有界，则有界。这蕴含算子簇每点有界，可推出在单位球上一致有界。因此，共鸣定理又称一致有界原理。一致有界原理解决了关于算子列的强收敛的有关问题，如算子列满足什么条件时是强收敛的？在强收敛意义下是否完备？下面几个定理回答了这些问题。定理3.9 设是Banach空间，是赋范线性空间，若对于每个在中存在，定义线性算子为，则，且有界。证明：由在中存在，知。据定理3.8知，存在常数，使，故即。证毕。定理3.10 设是赋范线性空间，是Banach空间，如果满足下列条件：（1）是有界数列；（2）在中某一稠密子集中每个元素收敛。则强收敛于某一有界线性算子，且。证明：因有界，故存在，使对一切。任取，注意到在中稠密，故对于任给，存在，使。由条件（2）可知，收敛，故存在自然数，使对一切以及任意自然数有于是故是Cauchy列，由于是完备的，故收敛。令，则是定义在上而值域包含在中的线性算子。再由可知有界，且证毕。本章3.1节定理3.6证明了当是Banach空间时，依算子范数是完备的。现在我们可以证明当都是完备时，对于算子列的强收敛也是完备的。定理3.11 设都是Banach空间，则L（X，Y）在强收敛意义下是完备的。证明：设是给定算子列，对每个是Cauchy列，故有界，再由一致有界原理可推知有界。注意到是Banach空间，故对每个收敛。因此，满足定理3.10的条件（1）和条件（2），故强收敛于某一有界线性算子。下面介绍几个关于共鸣定理应用的例子。例3.9（Fourier级数的发散问题）存在以为周期的连续函数，其Fourier级数再给定点发散。证明：用表示定义在上以为周期的连续函数全体，赋予范数那么，是一个Banach空间。对每个，其前n+1项Fourier级数的部分和为这里， 令t=0,即到R的有界线性泛函，且可计算其范数为注意到 所以从而由共鸣定理，必存在某个周期为的连续函数，使极限不存在，这意味着的Fourier级数在t=0点发散。同理，对每一固定点，也必存在，其Fourier级数在点发散。证毕。例3.10（Lagrange插值公式的发散性定理） 给定区间0，1内插入点构成三角矩阵H为那么必存在，使其与插值点相应的n次插值Lagrange多项式其中当时，不一致收敛于。证明：在上定义算子序列为通过计算得出 从而时有界线性算子序列，在函数逼近论中已经知道 因此，于是由共鸣定理必存在，使不收敛于，即不一致收敛于。证毕。例3.11(机械求积公式的收敛性) 在积分近似计算中，通常我们考虑形如 的求积公式，例如矩形公式，梯形公式就是类似的公式，由于只用一个公式不能保证足够的精确度，故需考虑机械求积公式系列 （3.4）其中 需讨论的使在什么条件下，当时，式（3.4）误差趋向于0，这就是机械求积公式的收敛性问题。现证明，机械求积公式（3.4）对于每一个连续函数都收敛，即 （3.5）当且仅当以下两个条件成立：（1） 存在常数M0，使（2） 公式（3.5）对于每个多项式函数都是收敛的。证明：考虑Banach空间上的线性泛函对于每个，因此，。另一方面，对于每个，取上连续函数，使得且 于是所以 由条件（2）若是多项式函数结论成立，又由于多项式全体是的稠密子集，由定理3.10，对每一个，公式（3.5）成立。注：本例中条件（2），多项式集合可用中稠密子集来代替，如果逐段线性函数集合来代替，结论仍然成立。习题3.21.设是Banach空间，是赋范线性空间，若，证明：存在，使得。2.设是Banach空间，是赋范线性空间，如果是中的Cauchy列，则是有界的。3.设为多项式全体构成的集合，按通常的函数加法与数乘运算成为一个线性空间，又对任意定义(1)证明是一个赋范线性空间；(2)证明不完备；(3)取,定义算子列 证明是有界线性算子，且对任意，成立但是4给定数列，若满足对任意收敛数列，级数收敛，证明：级数。5给定数列，若对任意，级数收敛，证明：。3.3 Hahn-Banach定理已知是维赋范线性空间，在中取一组基，设是一组数，当，定义，易知，是上的线性泛函，记 ，当时，由的线性可得这告诉我们维赋范线性空间上的线性泛函与数组一一对应，而且有具体的泛函表达式，本章3.1节例3.1告诉我们，有限维赋范线性空间上的任何线性泛函都是连续的，因此，对于有限维赋范线性空间上的连续线性泛函的情况，我们已经有了一个基本了解。那么，我们自然要问：任何一个无限维赋范线性空间上是否一定有非零连续线性泛函呢？如果有，是否足够多？本节将从线性泛函的延拓入手，讨论这个问题。【定义3.6】若是实线性空间，称为次可加正齐次泛函，如果满足： （1） （2）. 注：这里所给出的“次可加，正齐次泛函”对我们并不陌生，实际上，在赋范线性空间中，元的范数就是这种泛函，一般说来，它未必是“加法”的或“齐次”的。【定理3.12】（定理）设是实线性空间，是次可加正齐次泛函。是一子空间，是上定义的一个实线性泛函，且，那么存在上的实线性泛函，满足： （1） （2）. 证明：我们仅来证明一种特殊情况，当比仅多一维，此时，可表示为这里。 定义上的线性泛函为C是一个待选择的常数。由于是上的线性泛函，那么是上的线性泛函，且显然满足（1）.为满足（2），我们来确定常数C，若满足（2），则对一切及成立不等式这个不等式又等价于下面两个不等式：（1） 因为对任何有 即（2） 于是，令据（2）式，从而选取,则这样的满足（1）式，于是在上满足。证毕。对于一般情况，由于涉及到超限归纳法，这里略去其证明。由定理3.12，我们可得出下面的有界线性泛函的存在定理和连续线性泛函的“保范延拓”定理。【定理3.13】设是实赋范线性空间，如果，则在上必存在非零的连续线性泛函。证明：因，故，任取，令又取，作上的泛函显然，是上的非零有界线性泛函，只要将定理3.12中取为，便可知必可延拓成上的有界线性泛函，显然不是零泛函。证毕。【定理3.14】（Banach保范延拓定理）设是实赋泛线性空间，是的子空间，是上的有界线性泛函，则存在上的有界线性泛函满足：（1）；（2）。证明：由于是上的有界线性泛函，那么这里是在上的范数。令，则是上定义的次可加正齐次泛函，由式（3.6）对，有。根据定理3.12，存在X上连续线性泛函F满足结论（1），且。又所以可见，式上有界线性泛函，且，又是的延拓，所以即。证毕。注：从定理3.12证明过程中，我们知道多讨论的延拓并不惟一，由此可知，赋范线性空间的子空间上连续线性泛函的保范延拓一般也不惟一。例3.12 设，对，规定按此范数成为赋范线性空间。又设，设是定义在上的连续线性泛函，即。然而，对任何数上的连续线性泛函都是的延拓，由于并且，所以，只要都是的保范延拓。【推论3.1】设是实赋范线性空间，是的一个真闭子空间，令则存在上有界线性泛函满足证明：首先证。若，由下确界定义，存在，满足，即。而是闭的，所以，这与矛盾。记由及张成的子空间为，则可表示成在上定义泛函，显然，是上有界线性泛函，且下面来计算在上的范数。对于，由于所以，。另一方面，取，使，而在上式中令，得，故。最后，由定理3.12，存在上有界线性泛函，满足，且，根据得构造，显然满足证毕。注：推论3.1说明有界线性泛函可分离一点和一个闭子空间。【推论3.2】设式实赋范线性空间，且，则存在上有界线性泛函满足，且。证明：取得一维子空间，在上定义有界线性泛函为，则式上线性泛函，且，又所以由定理3.12，存在上有界线性泛函，它是得保范延拓，因此，仍然满足,且。证毕。推论3.2表明，只要，则上必存在不为零的连续线性泛函。【推论3.3】设是实赋范线性空间，若对于上任意连续线性泛函，都有，则。证明：用反证法，由定理3.13易得。推论3.3表明，当式无限维实赋范线性空间时，在上必存在无限多个连续线性泛函。当时复线性空间时，上述定理和推论同样成立。习题3.31.设是实线性空间，是的子空间，证明：是的子空间。2.设是实赋范线性空间，且，证明：存在上有界线性泛函满足。3.设是实赋范线性空间，证明：，必有（为上全体连续线性泛函组成的集合）。4.在上定义泛函证明：是有界线性泛函，且。5.设是实赋范线性空间，若对任意上的有界线性泛函，且，证明：。6.设是线性空间上的非零线性泛函，取，证明：。7.设是线性空间上的两个线性泛函，且，证明：存在常数，使得。3.4共轭空间与共轭算子 本章第3.1节我们介绍了有界线性算子空间，特别地当时，我们便得到上有界线性汉化地全体，称为的共轭空间，记为。本节我们将研究空间的有关问题。3.4.1共轭空间一般来说，对于赋范线性空间，即使是Banach空间，其上连续线性汉化的具体形式仍然相当复杂。下面我们用Hahn-Banach定理，给出几个具体的Banach空间上所有连续线性泛函的具体形式。为此，我们将引入下面等距同构概念。【定义3.7】设是赋范线性空间，称是的嵌入子空间，如果存在线性算子满足；称与是等距同构的，如果存在线性算子是满射，且。注：当是的嵌入子空间时, 是的子空间结构完全相同，因此，可记为；当与等距同构时，这两个空间结构也完全相同，可记为。例3.13 ，在中赋予范数，则是赋范线性空间。，赋予范数，则也是赋范线性空间，我们有。证明：对于任一，定义上线性泛函为：于是所以，即。另一方面，对，令，这里。记，对每个，由于，而是连续线性泛函，因此， 下面证明。令，其中这里是符号函数，则，即，且，由式（3.7）知由的任意性，又是得到。根据上述两步，定义为，则是线性算子，是满射，而且（因而是一一映射）。这说明与是等距同构的，即。例3.14 。证明：令是中第项为1，其它项为0的数列，任取，令在上且，而在中稠密，由Hahn-Banach定理可得故，令，因为，所以因此，且。反之，对任意，定义如下则 所以，。再由上述论证可得，从而与等距同构，即=。证毕。例3.15 ，其中。证明：对每个，由级数形式的Hlder不等式，对，有 （3.8）因此，定义上的线性泛函为，那么由式（3.8）得，即另一方面，设，记（第个坐标为1，其余为0），对每个，由于是连续线性泛函，所以 （3.9）记，下面证。对自然数N，记则，由式（3.9）得于是 令，则，即。由上述两方面证明，定义线性算子为，则是满射，且，故。证毕。例3.16 ，定义范数：，则的充要条件是存在（其中），满足，及。即。由于证明比较复杂，这里略去。下面讨论一类很重要的赋范线性空间自反空间。设是赋范线性空间，是它的共轭空间，因为也是赋范线性空间，它也有共轭空间，把它记为，称为的二次共轭空间，如此继续下去，就有的三次共轭空间这些空间之间自然是有联系的，我们只考察与的关系。对每个，做上的泛函如下：对，令，显然，这样做的是上的线性泛函，而且由于 （3.10）所以，是有界线性泛函，并且，称此泛函是由生成的，又称的算子为嵌入算子。【定理3.15】设是赋范线性空间，嵌入算子是到的保范线性算子，即：（1）；（2）。证明：（1）由定义可知，对任意，有（2）由式（3.10）知,故只需证。对任何，由Hahn-Banach定理推论知，必有，而且，因此证毕。由定理3.15易得如下推论：【推论3.4】设是赋范线性空间，则是的嵌入子空间，即。【定义3.8】设是赋范线性空间，如果，即与等距同构，则称为自反空间。 从上面的例子可见，因此，而，所以不是自反的；而所以是自反的；同样，也是自反的。自反空间有着极为重要的性质，自反空间上算子的结构也是特别整齐的。【定义3.9】设是赋范线性空间，称弱收敛于，若对，有，记为。弱收敛点列具有下列性质：(1)若，则；(2)若，且，则;(3)若，则有界；(4)若是有限性的，则有可推得。证明：（1）对每个，由于所以；（2）对每个，由及，得于是，由本章3.3节推论3.2知，存在，且，故，即。（3）对每个，由于，因此，有界，即。定义上有界线性泛函列则由上面定理3.12，再由共鸣定理知故有界。（4）取的一组基，设，在这组基下可展成取特殊的坐标泛函，使因此，即。注：在无穷维空间中，并不能推出。例如，设则，故不强收敛于0，但对任何，我们有，故弱收敛于0。【定义3.10】设赋范线性空间的共轭空间为，在上有如下三种收敛：(1)按范数收敛（一致收敛），记为，即；(2)弱收敛，记为，即对每个；(3)弱收敛，记为，即对每个。这三种收敛的关系是：若，则；若，则。当是自反Banach空间时，等价于。【定义3 .11】设是赋范线性空间，中点列及满足：对任意和任意的，则称弱收敛于。我们已经知道，算子列的一致收敛可导出强收敛不一定一致收敛。由定义3.11可证得，算子列强收敛，一定弱收敛，但反之不成立。例3.17 令，定义，这是一个平移算子，显然是线性算子，并且，所以，对任意由Hlder不等式有即弱收敛于0.但是不强收敛。这里只要取，则当时，就有故不收敛。【定理3.16】设是赋范线性空间，如果可分，则是可分的。证明：由于是可分的，所以在中由一列，它在的单位球面上稠密，对每个，由于在的单位球面上必有一串，满足，这时，把张成的的线性闭子空间记为，如果不可分，那么必然由，从而在中存在点，而且当时，然而这与在的单位球面上稠密的假设矛盾。所以，是可分的。 定理3.16启发我们用共轭空间的性质可以来研究原来的赋范线性空间的性质。这个方向的进一步发展，就是局部凸拓扑线性空间理论中的对偶理论，它对于研究空间的拓扑结构是很有用的。3.4.2 共轭算子我们知道，矩阵是有限维空间算子的表示形式，矩阵的转置在矩阵理论中起着十分重要的作用。这种矩阵转置概念在无穷维空间的推广就是共轭算子。有了共轭空间的概念，就可以引出共轭算子的定义。【定义3.12】 设是从赋范线性空间到赋范线性空间上的有界线性算子，对，由定义了上的有界线性泛函，显然对每个，对应惟一的，用记这个对应关系，即，是到的算子，称为的共轭算子。共轭算子具有下列性质：（1）的共轭算子是有界线性算子，且；（2），这里是实数； （3），这里；（4），这里；（5）设存在有界逆算子,则也存在有界逆算子,且;（6）的共轭算子也有共轭算子，我们将他简记为，则，若看成的子空间，则是的延拓。性质（2），性质（3）和性质（4）由定义易证，现证性质（1）、性质（5）和性质（6）。证明：性质（1）中的线性显然。现证明的有界性。由定义易知：故 于是，故有界，且。由Hahn-Banach定理推论3.2知，对任意，有使得故因是任意的，即，故，即性质（1）成立。性质（5）：由于是从到的有界线性算子，是从到的有界线性算子，任取，则因是故意的，故，又因为是任意的，故 （3.11）这里是中的恒同算子（单位算子）。再任取，有因都是任取的，故 （3.12）这里是中的恒同算子。由式（3.11）和式（3.12）可知，以为它的有界逆算子。性质（6）：，由性质（1）立即导出。现证明是的延拓。任取，设是在中的对应元，则对任意，有故因是任意的，所以 （3.13）若将视为的子空间，则与可视为同一， 与可视为同一，于是式（3.13）可改写成，故是的延拓。在很多情况下，需要求出给定的有界线性算子的共轭算子的具体形式。例3.18设是阶矩阵，由定义了一个由空间到空间的算子其中，容易证明是有界线性算子。由于欧几里得空间的共轭空间就是它本身，故由共轭算子的定义可以知是由到中的有界线性算子。现在我们求出的具体形式。我们知道上的每个有界线性泛函可表示成于是故 （3.14）这表明由的转置矩阵定义。例3.19设是变量及的实可测函数，满足设是以为核心的积分算子，即可以证明是将映入的有界算子。由于与互为共轭空间，故由共轭算子的定义可知是由到的有界线性算子。现求出的具体表达形式。对每个，存在中元，使对任何，有（这里是上有界线性泛函的具体表达形式）故由于是任意的，故因为与可视为同一，故形式上又可写为故 可见，是映入以为核的积分算子。习题3.41证明有限维赋范线性空间的共轭空间是有限维的。无穷维赋范线性空间的共轭空间是无穷维的。2证明任何有限维空间皆自反。3在中作出一个点列及，使，但，其中。4设是赋范线性空间，是闭线性子空间，若，有 ，证明且。5设是Banach空间，是共轭空间，若，且，证明：。6，证明 。7设，且，证明：。8证明：若是自反的，则也是自反的。35开映射、逆算子及闭图像定理在许多实际问题中，我们常常遇到通过已知条件求出未知元的问题。例如解代数方程、微分方程、积分方程等。如果把它们抽象统一起来，则可得到一般算子方程的求解问题，其实也就是考虑相应算子的逆算子存在问题。当附加上该解“存在惟一并且对依赖的初始条件是连续的”要求时，问题也便归结为寻求“连续的”逆算子的存在问题。本节我们要介绍与此密切相关的一些定理，这里特别要强调的是“开映射”定理，通过它不但能够导出一些非常重要和适用的关于有界逆算子的存在定理，而且由它我们还将得到在分析中应用十分广泛的闭图象定理。设,是数域上的线性空间，是到线性算子，如果是一一映射，则的逆算子存在，而且也是现行的。事实上，根据假设的存在是显然的，只须再证是线性的。因对及存在使得即，于是即是线性算子。我们关心的问题：如果都是赋范线性空间，是双射（到的一一映射），这时存在而且是线性算子，但是否有界呢？一般来说，即使是完备的，并不一定有界，下面是一个反例。例3.20设，按中的范数构成赋范线性空间，令显然，是Banach空间到赋范线性空间的双射，且，但 ，是无界的线性算子。事实上，取，则但由于从而所以是无界线性算子。【定义3.13】设是度量空间，是到的映射，如果对中的任何开集,像是中开集，则称是开映射，或开算子。显然，若是同胚映射，而且是到的双射时，为连续的充要条件是为开映射。【定理3.17】(Banach开映射定理)设是Banach空间，且是满射，则是一个开映射。证明：以下我们分为用与表示与中的球，因为，所以由于是Banach空间，由Baire纲定理，是第二纲集。因此存在,使得在某个球中稠密。我们首先证明，对任意，存在，使得在中稠密，因此取，对任意，所以存在中的点列及使得从而，显然，所以在中稠密。其次，对任意，由上面已经证明的结论，在中稠密，因此，存在，使得，因此由于在中稠密，故存在，使得，从而这样继续下去，得到点列，使得因为是Banach空间及，因而存在使得，并且，于是由的连续性所以，由此，对任意。最后，设是中任一开集，任取,存在的邻域,取正数，则，因此。由于，所以即是的内点，所以是中开集。证毕。本节例3.20已经告诉我们，当是Banach空间到赋范线性空间的有界线性算子，并且还是一个双射时，并不一定有界，然而如果值域是完备的，情况就不同了。【定理3.18】（Banach逆算子定理）设是Banach空间，是双射，则。证明：由定理3.17知是开映射，又因是到的双射，所以是到上的连续线性算子，即。证毕。下面通过逆算子定理来说明常微分方程解的连续依赖性。例3.21给定阶线性常微分方程及初值条件其中是上的连续函数。根据常微分方程的理论，对每个连续函数，上述微分方程均存在惟一解，这里的解连续依赖性是指当左边函数做微小变化时，相应的解也做微小的变化。证明：定义的一个线性子空间在中定义通常的范数，在空间中定义范数那么及在相应范数下均构成Banach空间。定义线性算子为那么这里，所以是有界线性算子。据的定义及例3.21的说明，是由到上的一一映射，因此，由逆算子定理，是有界线性算子。对任意，取,则只要时，、相应的解为、，即,故，于是这说明，做微笑变动时，其相应的解及的各阶导函数（直到阶）也做微小的扰动。判断一个线性算子是否有界，有时是十分困难的，我们下面介绍通过算子图像特征来判断算子有界的方法，这就是闭图像定理。在高等数学中，函数的图像是平面上的一条曲线，也就是由平面上的点组成的集合，我们把这一概念推广到抽象空间。【定义3.14】设是两个赋范线性空间，在上定义线性运算为令而对中的元定义其范数，则在此范数下成一赋范线性空间，称为与的乘积赋范线性空间，记作或。显然，如果是Banach空间，则也是Banach空间。【定义3.15】设是两个赋范线性空间，是到中的算子，令称为映射的图像，如果是中的闭集，则称是闭算子，也称算子具有比图像。【定理3.19】设是两个赋范线性空间，是到中的算子，则是闭算子的充要条件是任意点列,若，则,且。证明：必要性。设是闭算子，当，时，显然，而且由等式知，即，。充分性。任取，而且，由于所以，再由假设知，且，从而，即是中的闭集。证毕。注：（1）定义域是闭集的连续线性算子是闭算子。事实上，设是两个赋范线性空间，是到中的连续算子，并且是中的闭集，当，时，由的闭性知，又由的连续性知，据定理3.19知是闭算子。（2）当都是Banach空间，是到中的线性算子，而且是闭算子时，不一定是连续算子。例如，显然，是的线性子空间，作到的算子如下则是到的线性算子，而且是闭算子。事实上，设，由高等数学知识，可知，且。据定理3.19知是闭算子，但我们知道是无界的，故不是连续线性算子。然而，当算子的定义域是的闭子空间时，有下面注明的闭图像定理。【定理3.20】（闭图像定理）设是Banach空间，是到中的线性算子，而且是闭算子，如果是的闭线性子空间，则是连续的。证明：由是是Banach空间。因为是的闭线性子空间，故按中范数是一个Banach空间，又是线性算子，易知是的闭线性子空间，从而按中的范数也是一个Banach空间。做到的算子如下显然，是到上的线性算子，而且所以是有界的。又当时，必有，故是到上的双射，根据逆算子定理，是有界的，于是从而由此可知，是有界的。证毕。由定理3.19的注（1）和定理3.20立即得到：【推论3.5】设是Banach空间，是到中的线性算子，则连续的充要条件是是闭算子。闭图像定理在偏微分方程理论中有很多应用，因为对于微分算子，要直接验证它的连续性往往比较困难，但要验证它是闭算子却比较容易。习题3.51映射为试问是开映射吗？又令问是否为开映射？2设是两个Banach空间，证明也是Banach空间。3试用比图像定理证明逆算子定理。4设是线性空间，是上两个范数，在这两个范数下，均是Banach空间，如果存在常数，使，则一定也存在常数，使（即两个范数等价）。5设是两个Banach空间，,证明存在常数，使对,的充要条件是且是闭集。6证明：若闭线性算子的逆算子存在，则也是闭线性算子。7证明比现行算子的零空间是的闭线性子空间。3.6 算子谱理论简介我们在线性代数中学过了矩阵的特征值与特征向量的基本理论，现在把这两个概念推广到Banach空间，建立算子的谱理论。3.6.1 有界线性算子的谱为了研究算子的谱，Banach空间一般取复的。【定义3.16】设是复Banach空间，为一复数。（1）称为的正则值，如果有有界逆算子，即。用表示的正则值组成的集合，称为的正则集。对，称为的预解式。（2）如果不是的正则值，则称为的谱点，全体谱