模糊数学及其应用5.ppt

2020/6/7,1,第六讲模糊综合评判,在现实生活中，常常需要对某些事物进行评价。根据我们的经验知，不论对什么事物进行评价，若只考虑一个因素，而且又有明确的衡量标准，则问题很容易解决。比如若只比较A、B两人的大小，则只需要比较两人的年龄即可。但要考虑多个因素，而且有些因素的评价标准又不那么确切，只是一个模糊概念，比如A、B两人谁更优秀？这时评价问题就变得非常复杂。为了对这种情况进行评价，汪培庄在20世纪80年代初提出了综合评判模型。此模型以它简单实用的特点，迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面。,2020/6/7,2,一、模糊综合评判的数学模型设评价时所着眼的m个因素的集合为，n个评语的集合为。根据具体情况，评语集合一般可取为。当然评语集合V可有不同的选取。若用表示第i个因素对第j种评语的隶属度，则因素论域与评语论域之间的模糊关系可用评价矩阵,来表示。其中,2020/6/7,3,在全面评价一个对象时，要着眼于所有的m个因素。但作出最后结论时，这些因素的参考价值是不同的。比如在评价某公司提供的一幅电子地图的优劣时，不同用图部门的着重点是不同的。对于工程部门，由于主要用于工程设计，对图的精度要求比较高，而对图的视角效果要相对较低。而对于艺术家而言，则对图的视角效果要求较高，而根本不考虑位置精度。因此，在进行评价前，应考虑评价者对各种因素的重视程度。评价者对各种因素的重视程度，即各因素的权，可以看成是因素集U的模糊子集，记为：并且把A与R的合成B看作评价者综合各种因素后对被评对象作出的最终评价，即模糊综合评判。于是，模糊综合评判的数学模型为：,2020/6/7,4,或式中：“”表示模糊运算符。对此运算符的定义不同，则对应不同的模糊综合评判模型。陈永义等（1983）采用特殊符号，给出的上式在广义模糊运算下B的各元素的计算式为：（1）（1）式是模糊综合评判的一般模型，记为。王光远（1984）根据对运算符“”的不同定义，总结出了四种不同的模糊综合评判模型。这四种模糊综合评判模型分别为：,2020/6/7,5,模型I此模型就是用取代，用取代。此时，（1）式变为：（2）例为了综合评价某公园的噪声，将该公园的四个功能区：休闲、观赏、餐饮和通道作为因素集合：而将游客对噪声的主观感受：烦恼、较烦恼、有点烦恼、不大烦恼和毫不烦恼作为评语集合：又通过向游客发卷调查的方式得到因素论域U与评语论域V之间的模糊关系矩阵为：,2020/6/7,6,设各功能区的权为：。试用模糊综合评判模型I对该公园的环境作出评价。解：根据（2）式，可得：根据极大隶属度原则，对该公园的综合评价为“毫不烦恼”。所谓极大隶属度原则，就是取隶属度最大的那个作为最终评价结果。比如此例中，最大隶属度为，而对应评语集中的。为评语“毫不烦恼”，所以根据极大隶属度原则，对该公园的综合评价为“毫不烦恼”。,2020/6/7,7,由于评语集B具有模糊性，所以由评语集B根据极大隶属度原则得出的评价结果较粗。因此，有学者建议对评语进行定量化处理。对评语进行定量化处理可采用对各个评语实行百分制记分的办法，比如记：（烦恼）、（比较烦恼）、（有点烦恼）、（不大烦恼）、（毫不烦恼）。这样就得到一个关于评语的分数向量：=（55，65，75，85，95）有了分数向量后再计算得分：,2020/6/7,8,于是：,对评语进行定量化处理后，该公园的得分为75。59。故该公园只能评为三级“有点烦恼”。如此对评语进行定量化处理后，就可清楚地看出仅按极大隶属度原则得出的结论太粗，是不准确的。模型II此模型就是用取代，用取代。此时，（1）式变为：（3）式中：“”表示普通的实数乘法。于是，（3）式还可写为：,2020/6/7,9,例2用模型II对例1中的公园进行综合评价。解：根据（3）式，可得：用此模型算得的评语集B正好是两个极端情况（烦恼和毫不烦恼）取得极大值。若仅按极大隶属度原则则难以对该公园作出综合评价。这就进一步说明对评语进行定量化处理的重要了。对评语进行定量化处理，得：,所以对该公园的综合评价同样为三级“有点烦恼”。,2020/6/7,10,模型III此模型就是用取代，用取代。此时，（1）式变为：（4）式中：符号“”表示有上界求和，即。于是（4）式可写为：（5）例3用模型III对例1中的公园进行综合评价。解：根据（5）式，可得：用此模型算得的评语集B的最大值是。若用极大隶属度原则进行综合评判，该公园属于三级“有点烦恼”。,2020/6/7,11,对评语进行定量化处理，得：故该公园只能评为三级“有点烦恼”。模型IV此模型就是用取代，用取代。此时，（1）式变为：（6）或（7）例4用模型IV对例1中的公园进行综合评价。,2020/6/7,12,解：根据（7）式，可得：用此模型算得的评语集B的最大值是。若用极大隶属度原则进行综合评判，该公园属于二级“比较烦恼”。对评语进行定量化处理，得：故该公园只能评为三级“有点烦恼”。所以该公园用哪个模型评价都是三级“有点烦恼”。,2020/6/7,13,二、模糊综合评判中几种数学模型的实质用上述四种模型对该公园环境进行模糊综合评价，四种模型均评为三级“有点烦恼”。这是否说明这四种模型是等价的呢？在模糊综合评判时，是否不论选用哪种模型都一样呢？若回答是否定的，那么各种模型都有什么特点呢？下面就来讨论这些问题。模糊综合评判的过程是输入A，经过变换器R变换后，输出评语集B。其中R和B的含义是十分明确的，所以计算结果取决于输入向量A。于是必须正确认识A的实质，才能得出合理的评价结果。,2020/6/7,14,为此，我们先来分析广义模糊运算下的综合评判的一般模型，即（1）式。在（1）式中，为单独考虑因素时，的评价对等级的隶属度。因此，式中广义“与”运算的结果（不妨将这个结果记为）就是在全面考虑各种因素时，的评价对等级的隶属度，即就是对隶属度的修正。而广义“或”运算就是对各个修正后的隶属度进行综合处理，以求得合理的综合评判。下面结合具体模型分析之。模型I在此模型中，单因素的评价对等级的隶属度被修正为：,2020/6/7,15,这就清楚地表明，是在考虑多因素时（j=1,2,n）的上限。也就是说，考虑多因素时，因素的评价对于任何等级（j=1,2,n）的隶属度都不大于。这样在此模型中向量A就没有权的含义。在此模型中，广义“或”运算取的含义十分明确，那就是在计算时，对每个而言，只考虑中最大的那个起主要作用的因素，而不考虑其它因素的影响。因此，模型I是“主因素突出型”的综合评判模型。既然在此模型中向量A没有权的含义，那么大多文献中将A作为权向量，并令=1是不对的。这是因为当因数较多，即m较大时，的值必然很小，这就使得各评语值很小。这时较小的权值通过取小运算而“淹没”了所有单因素的评价，从而得不出有意义的结果。,2020/6/7,16,模型II此模型与模型I很接近，其区别仅在于以代替了模型I中的。在此模型中，是在考虑多因素时的修正系数。虽然与因素的重要性有关，但也没有权的含义，故的总和也没必要等于1。此模型也是“主因素突出型”的综合评判模型。模型III此模型在求时，用对修正后的求和代替模型II中对取大。这一代替使得此模型与模型II有本质的区别。首先，在决定各因素的评价对等级的隶属度时，考虑了所有因素（i=1,2,m）的影响，而不是仅考虑对影响最大的因素。,2020/6/7,17,其次，由于同时考虑所有因素，所以各具有代表各因素的重要性的功能，因此具有权的作用。因而应满足=1这个要求。在此模型中，由于，所以运算蜕化为一般的实数加法。故此模型可改写为模型III，即式中：。模型IV与模型I一样，此模型也是对规定上限来修正，即。与模型I的区别在于，此模型是对各作有上界相加来求。各个作为的上限，当然没有必要要求。,2020/6/7,18,从形式上看，此模型也是一种对每一级都同时考虑各因素的综合评判方法，然而这种直接对隶属度作有上界相加的办法在很多情况下得不出有意义的结果。因为当各个取值较大时，重要的一些值均等于上界1；而当各个取值较小时，重要的一些值将直接等于各之和。综上所述，输入向量A只有在模型III中才有权的意义，在其它模型中均无有权的意义。尽管如此，我们仍称向量A为权向量。综合评判结果是否客观，取决于权向量A，尤其是在按极大隶属原则进行评判时，权向量A的变化会引起相反的结论。,2020/6/7,19,三、多层次模糊综合评判一中介绍的模糊综合评判，因素论域只有一层。例如例1中因素论域仅由休闲、观赏、餐饮和通道这一层组成，即每个因素都没有再分。我们在实际中碰到的综合评判问题往往并不是如此简单。比如对全国高校进行综合评判时，因素论域可以由教学、科研、管理、师质和设备等5个因素组成。而教学这个因素又分研究生教学、本科生和专科生教学。研究生教学还可分博士和硕士等等。同样科研这个因素也可分为科研项目、科研成果、科研经费、科研基地、成果转化。科研成果又可分为获奖、论文、专著、专利。论文还可分为三大检索、核心期刊、一般刊物等等。总之，实际因素论域中的某一个或每一个往往具有多个层次。对于这样一些具有多层次因素论域的综合评判问题，需采用多层次模糊综合评判的方法来解决。,2020/6/7,20,1、多层次模糊综合评判的数学模型设因素论域U由k层组成（），第一层（最高层）具有m个因素其评语集为：则多层次模糊综合评判的数学模型为（不失一般性，取k=4）：,2020/6/7,21,式中：A为各层的权向量，其中下标的个数x表示A为第x+1层的各个权向量；R为最底层（第k层）的模糊关系矩阵。多层次模糊综合评判是从最底层（第k层）开始，向上逐层运算，直至得到最后的评语集B。第k层评判结果就是第k-1层因素的隶属度。计算步骤为：1、进行第四层的运算，分别得到，即,2020/6/7,22,完成第四层的计算后，令2、进行第三层的运算，分别得到，即,2020/6/7,23,完成第三层的计算后，令3、进行第二层的运算，分别得到，即,2020/6/7,24,完成第二层的计算后，令4、进行最高层的运算，得到最后的评语集有了评语集B后，进行定量化处理。以上计算过程如下图所示。,2020/6/7,25,2020/6/7,26,2、多层次模糊综合评判示例空间信息产品的质量评价是典型的多层次模糊综合评判问题，比如专题地图编绘质量的评价。何宗宜在应用多层次模糊综合评判方法评判专题地图湖北省国土经济地图集中“湖北省棉花分布与区划图”的编绘质量时，将因素论域U分为4层组成，第一层（最高层）包括6个因素，即各因素的实际意义为：上图指标的科学性和正确性。又由下列3个因素组成：指标处理的合理性；指标与地图用途及使用对象的适应性；资料利用的合理性与充分性。,2020/6/7,27,表示方法的正确性。又由下列6个因素组成：方法选择的正确性；图例设计的正确性；又由下列3个因素组成：图例完备性；色彩设计；符号设计。符号设计也由3个因素组成：图形设计；尺寸设计；注记设计。附图及统计图表的设计；表示方法的合理配合；,2020/6/7,28,表示方法的统一性和协调性；注记字体、字大的合理性、协调性与易读性。地图的精度。又由下列3个因素组成：选择的投影及比例尺的适应性；地图内容的位置精度；统计分级及符号的图解精度。动态情况反映及现势性。又由4个因素组成：图面内容的现势性及保持现势性的可能性；历年变化情况的反映；预测预报的可能性；修编的可能性。,2020/6/7,29,图面配置与整饰。又由下列4个因素组成：图面总配置；又由下列4个因素组成：主图、附图、图表、图名及说明文字的配置；主图与周围地区联系的反映；经济合理性；表达内容的完整性。各分图幅的配置；图名、图表名、附图名等设计的正确性；整饰质量。疏漏与错误。该多层次因素用图表示为：,2020/6/7,30,2020/6/7,31,下面按多层次模糊综合评判的计算步骤进行计算。1、进行第四层的运算。因为只有因素2有第四层、，设A和R为:由，运算符“”按运算（下同），得,2020/6/7,32,于是，因素2第三层的模糊关系矩阵：的第三行元素就是由第四层计算出来的。2、进行第三层的运算。因为只有因素2和因素5有第三层、和、。设,2020/6/7,33,于是：故因素2第二层和因素5第二层的模糊关系矩阵分别为：,2020/6/7,34,其中：的第二行元素就是由第三层计算出来的；的第一行元素就是由第三层计算出来的。3、进行第二层的运算第二层的模糊关系矩阵分别为：,2020/6/7,35,其权向量分别为：,2020/6/7,36,于是：,2020/6/7,37,2020/6/7,38,2020/6/7,39,4、进行最高层的运算，得到地图编绘质量的评语集B由有关专家确定的影响地图编绘质量的6个因素的权向量为：于是，最终