2011届新课标人教版高中第一轮总复习理科数学课件：第2.ppt

第四单元三角函数与平面向量,第24讲,三角函数的性质,1.了解三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、对称性等.2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在(-,）内的单调性.,A.,B.2k+,2k+(kZ)C.(2k+,2k+)(kZ)D.k+,k+(kZ),1.函数y=的定义域为(),B,要使函数有意义，得2sinx-10,即sinx,由图象可知，2k+x2k+(kZ).,2.函数y=cos2x+sinx在-,上的最小值为(),A,A.B.-C.-1D.,y=1-sin2x+sinx=-(sin2x-sinx)+1=-(sinx-)2+,因为x-,所以sinx-,所以ymin=f(-)=-(-)2+=.,3.函数f(x)=的最小正周期为(),B,A.2B.C.D.,f(x)=(1+sinxcosx)=sin2x+,所以T=.,4.函数y=sin(-)的单调递减区间是.,3k-,3k+(kZ),y=sin(-)=-sin(-),所以2k-2k+,所以3k-x3k+(kZ).,因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x).所以sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-)，即sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-).所以2sinxcos=-2sinxsin,对xR恒成立,所以tan=-,所以=k-(kZ).,5.已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)为偶函数，则=.,=k-(kZ),1.基本三角函数的性质,2.函数y=Asinx+b和y=Acosx+b的最大值为|A|+b，最小值为-|A|+b.3.对称性(1)y=sinx的对称中心为(k,0)(kZ);对称轴为x=k+(kZ).(2)y=cosx的对称中心为(k+,0)(kZ);对称轴为x=k(kZ).(3)y=tanx的对称中心为(,0)(kZ);无对称轴.,题型一三角函数的对称性、奇偶性,例1,设函数f(x)=sin(2x+)(-0).(1)y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=,求;(2)y=f(x)为偶函数，求；(3)若=k（kZ)，试证明y=f(x)为奇函数.,(1)因为x=是函数y=f(x)的一条对称轴，则当x=时，y取最值，所以sin(2+)=1,所以+=k+(kZ).又-0，所以=-.(2)由f(x)为偶函数，则当x=0时，y取最值，所以sin(20+)=1,则=k+(kZ).又-0,所以=,解得=1.(2)由(1)得f(x)=sin(2x-)+.因为0x，所以-2x-,所以-sin(2x-)1，因此，0sin(2x-)+，即f(x)的取值范围为0,.,要求（或应用）周期，常将三角函数统一成y=Asin(x+)+b(或y=Atan(x+)的形式，再利用公式T=(或);要求函数的值域（或最值），常将三角函数统一为y=Asin(x+)+b，根据弦函数的范围求解；或整理成关于某一三角函数的一元二次，用配方法，或用换元法化为可用基本不等式等结论的形式.,题型三三角函数的单调性,例3,(1)求函数y=3sin(-2x)的单调区间；,(1)y=3sin(-2x)=-3sin(2x-)，将2x-看作一整体，则与y=sinx的单调性相反.故由2k-2x-2k+,即k-xk+(kZ)时函数单调递减;所以递减区间为k-,k+(kZ)；同理，递增区间为k+,k+(kZ).,A.在0,),(,上递增,在,),(,2上递减；B.在0,),)上递增,在(,(,2上递减C.在(,，(,2上递增，在0,),)上递减D.在,),(,2上递增，在0,),(,上递减,(2)函数f(x)=（）,A,（2）f(x)=tanx，-tanx，结合图象易知A正确.,x2k,2k+)或x(2k+,2k+(kZ),x2k+,2k+)或x(2k+,2k+2(kZ),=,求f(x)=Asin(x+)的单调区间时，首先要看A，是否为正；若为负，则先应用诱导公式化为正，然后将x+看作一个整体，比如若A0，0，由2k-x+2k+(kZ)解出x的范围即为增区间.,已知函数f(x)=sin(x+)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(,0)对称，且在区间0,上是单调函数,求和的值.,(方法一)由于f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即sin(-x+)=sin(x+),所以sincosx-cossinx=sinxcos+cosxsin,即2sinxcos=0对xR恒成立,所以cos=0，又0,所以=.所以f(x)=sin(x+)=cosx.又f(x)的图象关于点M(,0)对称,即f(-x)=-f(+x),取x=0，得f()=0，即cos=0.又0,所以=k+(kZ)，,当k=0时，=,f(x)=cos在0,上是减函数；当k=1时，=2,f(x)=cos2x在0,上是减函数；当k2时，,f(x)=cosx在0,不是单调函数.所以=,=或2.,(方法二)以上同方法一，cos=0,由f(x)在0,上是单调函数，所以T=2,即00,0)的单调区间的确定，其基本思想是把x+看作一个整体,由2k-x+2k+(kZ)解出x的范围,所得区间为增区间;由2k+x+2k+解出x的范围，所得区间即为减区间.(2)比较三角函数的大小的一般步骤：先判断正负；利用奇偶性或周期性转化为同一单调区间上的两个同名函数;利用函数的单调性导出结果.,(2009全国卷)如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)中心对称，那么|的最小值为（）,A,A.B.C.D.,（方法一）因为函数y=3cos(2x+)的图象关于点（，0)中心对称，所以2+=k+（kZ）,所以=k-(kZ).由此易得|min=，故选A.,(方法二)因为y=cosx的对称中心为(k+,0).令2x+=k+(kZ)，即y=3cos(2x+)的对称中心为（,0)(kZ).由题意=，即=k-(kZ).由此易得|min=.,(2009重庆卷)设函数f(x)=sin(-)-2cos2+1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x0,时y=g(x)的最大值.,(1)f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx=sinx-cosx=sin(x-).故f(x)的最小正周期为T=8.,(2)(方法一)在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)，它关于直线x=1的对称点为(2-x,g(x).由题设条件，知点(2-x,g(x)在y=f(x)的图象上，从而g(x)=f(2-x)=sin(2-x)-=sin-x-=cos(x+).当0x时，x+.因此，y=g(x)在区间0,上的最大值为g(x)max=cos=.,(方法二)因区间0,关于直线x=1的对称区间为,2，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，故y=g(x)在0,上的最大值为y=f(x)在,2上的最大值.由(1)知f(x)=s