2011学案与测评数学苏教版文科第4单元 导数及其应用.ppt

第四单元导数及其应用,知识体系,第一节导数的概念及运算,基础梳理,1.函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为,若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为.2.函数f(x)在x=x0处的导数（1）定义设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义，x0(a,b),若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f(x0).、,(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点x=x0处的切线的斜率.相应地，切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,3.函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x).,4.基本初等函数的导数公式,f(x)=axa-1,f(x)=axlna,5.导数运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)Cf(x)=Cf(x)(C为常数);(3)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);,典例分析,题型一利用导数的定义求导数【例1】用导数定义求y=x2在x=1处的导数值.分析利用导数的定义,按求导数的步骤求解.解当x无限趋近于0时，趋近于2,y|x=1=2.学后反思利用导数的定义求在一点x0的导数的关键是对yx进行灵活变形，若求f(x)在开区间(a,b)内的导数，只需将x0看成是(a,b)内的任意点x,即可求得f(x).,举一反三1.已知，利用定义求y,y|x=1.解析当x趋近于0时，趋近于x,y|x=1=,题型二利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.,分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.,解(1)y=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx.(2),学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.,举一反三2.求函数的导数.解析：,题型三导数的物理意义及在物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-3t2.(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度；(2)求质点在t=1的瞬时速度.,分析第（1）问可利用公式求解；第（2）问可利用第（1）问的结论求解，也可利用求导公式及四则运算法则求解.,解(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为(2)方法一（定义法）：质点在t=1时的瞬时速度.,方法二（求导法）：质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时，v=-6.,学后反思导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的，所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说，其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题,举一反三3.(创新题)神舟飞船发射后的一段时间内，第t秒时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)求第t0秒末的瞬时速度；(2)经过多少时间飞船的速度达到75m/s?,解析：(1)h(t)=15t2+60t+45,飞船在第t0秒末的瞬时速度为h(t0)=15t20+60t0+45.(2)由v(t)=h(t)=75,得15t2+60t+45=75,解得t=-2,或t=-2(舍去).故经过(-2)s飞船速度达到75m/s.,题型四导数的几何意义及在几何上的应用【例4】(14分)已知曲线(1)求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(2)求曲线过点P（2，4）的切线方程.,分析(1)点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f(2).(2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.,解（1）y=x2,.2在点P（2，4）处的切线的斜率k=y|x=2=4,3曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.4,(2)设曲线与过点P（2，4）的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=x20.6,切线方程为即点P（2，4）在切线上，即x30-3x20+4=0,x30+x20-4x20+4=0,x20(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,.12故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.14,学后反思（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0),得出切线方程y-y0=f(x0)(x-x0),然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,举一反三4.已知抛物线y=ax2+bx+c过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y=x-3相切，求实数a,b,c的值.解析：曲线过点P(1,1),a+b+c=1,又y=2ax+b,y|x=2=4a+b,4a+b=1.又曲线过点Q（2,-1）,4a+2b+c=-1,联立得a=3,b=-11,c=9.,易错警示,【例】已知曲线上的点P（0,0）,求过点P(0,0)的切线方程.错解在点x=0处不可导，因此过P点的切线不存在.错解分析本题的解法忽视了曲线在某点处的切线的定义.在点P处的切线是指曲线在点P附近取点Q，当点Q趋近于点P时，割线PQ的极限位置的直线就是过点P的切线，因此过点P的切线存在，为y轴（如下图所示）.,正解如右图，按切线的定义，当x0时割线PQ的极限位置为y轴（此时斜率不存在），因此，过点P的切线方程为x=0.,10.(2009福建改编)若曲线f(x)=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围.解析:f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)=0有解，即有解,a(-,0).,考点演练,11.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过P(2,0),且在点P处有相同的切线.求实数a,b,c的值.,解析：f(x)过点（2,0）,f(2)=223+a2=0,解得a=-8,同理g(2)=4b+c=0.f(x)=6x2-8,在点P处切线斜率k=f(2)=622-8=16.又g(x)=2bx,2b2=16,b=4，c=-4b=-16.故a=-8,b=4,c=-16.,12.(2008宁夏)设函数(a,bZ),曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式；（2）证明函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形面积为定值，并求出此定值.,解析:(1),a,bZ,(2)证明:已知函数y1=x,都是奇函数，函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形.由可知f(x)的图象是由g(x)的图象沿x轴正方向向右平移1个单位，再沿y轴正方向向上平移1个单位得到的.故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.,（3）证明：在曲线上任取一点由f(x0)=知，过此点的切线方程为令x=1,得,切线与直线x=1的交点为（1,）令y=x,得x=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为所以所围三角形的面积为定值2.,第二节导数的应用（）,1.函数的单调性对于函数y=f(x)，如果在某区间上f(x)0,那么f(x)在该区间上是增函数;如果f(x)0，那么f(x)在该区间上是减函数.2.函数的极值与最大值（1）如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f(x0)=0,那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f(x0)=0,那么f(x0)是极小值.（3）函数的极大值、极小值统称为函数的极值.（4）如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的xI，总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数在定义域上的最大值.,基础梳理,题型一利用导数求函数的单调区间【例1】已知f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.分析通过解f(x)0,求f(x)的单调递增区间.解f(x)=ex-ax-1,f(x)=ex-a.令f(x)0,得exa,当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xlna.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(-,+);当a0时，f(x)的单调增区间为lna,+).,典例分析,学后反思求函数的单调区间，就是解f(x)0或f(x)0，这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.,对可导函数，求单调区间的步骤如下：（1）求f(x)的定义域；（2）求出f(x)；（3）令f(x)=0，求出全部驻点（补充定义:若函数f(x)在点x0处的导数f(x0)=0，则称点x0为函数f(x)的驻点）；（4）驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内f(x)的符号，因而可确定f(x)的单调区间.,举一反三1.已知函数y=x-lnx,则其单调减区间为.解析:函数的定义域为(0,+),y=1-,令y0,即1-0,得0x1,故f(x)的单调减区间是(0,1).答案：(0,1),题型二已知函数的单调性求参数范围【例2】已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.分析函数的增区间是f(x)0恒成立的区间，函数的减区间是f(x)0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）.解（1）由已知f(x)=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2在x(-1,1)上恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a3时，f(x)=3x2-a在x(-1,1)上恒有f(x)0,即f(x)在（-1,1）上为减函数.故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.学后反思关于不等式的恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如af(x)(xD)得af(x)max(xD);af(x)(xD)得af(x)min(xD).这种转化思想很重要，要注意掌握.,举一反三2.已知a0,函数f(x)=-x3+ax在1,+)上是减函数，则a的最大值为.解析：f(x)=-3x2+a,f(x)在1,+)上是减函数，-3x2+a0在1,+)上恒成立，即a3x2,而函数y=3x2在1,+)上的最小值是3,a3.答案：3,题型三利用导数求函数的极值【例3】求函数的极值.分析按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.,解f(x)的定义域为R.令f(x)=0,解得x=1或x=-1.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况为：,当x=-1时，f(x)有极小值-3;当x=1时，f(x)有极大值-1.,学后反思求函数极值的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)=0的全部实根；（4）检查方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.为判断方程f(x)=0的根左右两侧f(x)的符号，可用列表的方法：用方程f(x)=0的根及无意义的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.根据极值定义找到相应的极值.,举一反三3.(2009天津)设函数,其中m0.(1)当m=1时，曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率;(2)求函数的单调区间与极值.,解析：(1)当m=1时，,f(x)=-x2+2x,故f(1)=1,即曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为1.(2)f(x)=-x2+2x+m2-1,令f(x)=0,得x1=1-m,x2=1+m,因为m0,所以1+m1-m.当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,f(x)在(-,1-m)和(1+m,+)上为减函数，在(1-m,1+m)上为增函数.函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且,题型四已知函数的极值求参数的值【例4】(14分)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值，试讨论f(1)和f(-1)是函数的极大值还是极小值.分析本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法，首先借助极值点求出函数的解析式,再利用导数求出函数的极值.解f(x)=3ax2+2bx-3,依题意得f(1)=f(-1)=0,2,所以f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).令f(x)=0,得x=-1或x=1.6若x(-,-11,+),则f(x)0.故f(x)在(-,-1和1,+)上是增函数.10若x-1,1,则f(x)0,故f(x)在-1,1上是减函数.12所以f(-1)=2是极大值，f(1)=-2是极小值.14学后反思注意多项式可导函数的极值点与导数为零的根之间关系的应用.,即,解得a=1,b=04,4.已知函数(其中a0)且f(-2)=0.(1)若f(x)在x=2处取得极小值-2,求f(x)的单调区间；(2)令F（x）=f(x),若F(x)0的解集是A，且A（0，1）=(-,1)，求的最大值.,举一反三,解析：(1)f(x)=ax2+2bx+c,由f(x)=x2-0,得x2或x-2,同理,由f(x)=0,得-2x2.即函数f(x)的单调减区间是-2,2,增区间是(-,-2和2,+).,(2)f(x)=ax2+2bx+c=F(x),F(-2)=4a-4b+c=0,4b=4a+c.F(x)=0,2ax当a0时,F(x)0的解集是,显然不满足A(0,1)=（-,1）;当a0时，F(x)0的解集是若满足A(0,1)=(-,1)，则,解得,ac的最大值为,【例】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.错解f(x)=3ax2+6x-1.当f(x)0时，f(x)是减函数，则f(x)=3ax2+6x-10(xR),故解得a-3.错解分析f(x)0x(a,b)是f(x)在(a,b)内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如f(x)=-x3在R上递减，但f(x)=-3x20.,易错警示,正解f(x)=3ax2+6x-1.(1)当f(x)0时，f(x)是减函数，则f(x)=3ax2+6x-10(xR),故,解得a-3.,(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x2-x+1,易知此时函数也在R上是减函数.,考点演练,10.已知函数f(x)=x3-ax2-3x.若f(x)在区间1,+)上是增函数，求实数a的取值范围.解析：f(x)=3x2-2ax-3,f(x)在1,+)上是增函数,f(x)在1,+）上恒有f(x)0，即3x2-2ax-30在1,+)上恒成立，则必有,又g(x)为增函数，当x=1时，g(x)取最小值0,a30,即a0.,11.(2008四川改编)已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10 x的一个极值点.（1）求a;(2)求函数f(x)的单调区间.解析：(1)a=16.(2)由（1）知，f(x)=16ln(1+x)+x2-10 x(x-1),.当x(-1,1)(3,+)时，f(x)0;当x(1,3)时，f(x)0.f(x)的单调递增区间是(-1,1),(3,+);f(x)的单调递减区间是(1,3).,12.（2009北京）设函数f(x)=x3-3ax+b(a0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切，求a,b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.解析：(1)f(x)=3x2-3a=3(x2-a).因为曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切，所以解得a=4,b=24.,(2)f(x)=3(x2-a)(a0).当a0时，f(x)0,函数f(x)在(-,+)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点.当a0时,令f(x)=0得x=.当x(-,-)时，f(x)0,函数f(x)单调递增;,当x(-,)时，f(x)0,函数f(x)单调递减;当x(,+)时，f(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=-是f(x)的极大值点，x=是f(x)的极小值点.,第三节导数的应用(),基础梳理,1.一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f（a）、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用，它是求函数最大（小）值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注意导数在这两方面的应用.,题型一求函数的最值【例1】已知函数f(x)=x2ex,求函数在-1,1上的最值.分析通过求导，找到函数的极值点，将极值与端点处的函数值相比较，找到最值.解f(x)=x2ex,f(x)=2xex+x2ex=ex(2x+x2).令f(x)=0,得ex(2x+x2)=0,x=0或x=-2(舍去).f(0)=0,f(-1)=e-1=,f(1)=e,f(x)max=f(1)=e,f(x)min=f(0)=0.,典例分析,学后反思求函数在闭区间上的最值，应先利用函数的导数求得极值，再与端点处函数值相比较而得到，其中最大者为最大值，最小者为最小值.对含有参数的问题，需注意分情况讨论.,举一反三1.（2009盐城模拟）已知函数,求f(x)的最大值.解析:f(x)的定义域为(0,+),令f(x)=0,得x=e.当x(0,e)时,f(x)0,f(x)在(0,e)上为增函数；当x(e,+)时，f(x)0,f(x)在(e,+)上为减函数，f(x)max=f(e)=,题型二导数在实际问题中的应用【例2】用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成（如图）.问：该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？分析引进变量建立目标函数，利用导数求最值.,解设容器的高为xcm,容器的容积为V(x)cm3,则V（x）=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4320 x(0x24).V(x)=12x2-552x+4320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).,当10x24时，V(x)0,那么V(x)为减函数.因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19600(cm3).答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19600cm3.学后反思在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合，用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.,令V(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).当0x10时,V(x)0,那么V(x)为增函数；,举一反三2.某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a(3a5)元的管理费，预计当每年产品的售价为x(8x11)元时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值Q（a）.,解析：(1)分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L(x)=0,得x=或x=12(不合题意，舍去).,在x=附近两侧，L的值由正值变负值.当89，即3a时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a);当9,即a5时，,当3a，即当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；当a5，即当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值(万元).,题型三求单调区间与解含参不等式【例3】（2008全国）已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(aR),试讨论f(x)的单调区间.分析求导后含有参数a,可解含参不等式.通过讨论求f(x)的单调区间.,解f(x)=3x2+2ax+1,判别式=4a2-12,(1)当0,即a3或a-3时，在上f(x)0,f(x)是减函数;在和上，f(x)0,f(x)是增函数.（2）当0,即-a时，则对所有xR都有f(x)0，此时f(x)在R上是增函数.（3）当=0,即a=时，则且对所有的x都有f(x)0,故当a=时，f(x)在R上是增函数.,学后反思分类讨论是数学上一类重要思想.对含参数的函数求单调区间时，求导后仍含有参数，可转化为解含参数的不等式问题,解含参数的不等式常通过讨论来完成.还要注意,在讨论时各种情况要考虑全面，如本题易遗漏=0,即a=的情况.,举一反三3.（2008北京）已知.求f(x),并确定f(x)的单调区间.解析：令f(x)=0,得x=b-1,当b-11,即b2时，f(x)的变化情况是:,当b2时，f(x)在（-,b-1）上递减，在(b-1,1)上递增，在(1,+)上递减;当b2时，f(x)在(-,1)上递减，在（1,b-1）上递增，在(b-1,+)上递减.当b=2时，所以f(x)在(-,1)，(1,+)上递减.,当b-11,即b2时，f(x）的变化情况是:,当b-11,即b2时，f(x）的变化情况是:,题型四导数与不等式的证明【例4】(14分)已知定义在正实数集上的函,g(x)=3a2lnx+b,其中a0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(1)用a表示b,并求b的最大值;(2)求证：f(x)g(x)(x0).分析(1)利用好两个函数满足的两个条件，找出a与b的关系.(2)可转化为研究函数F(x)=f(x)-g(x),只要证明F(x)0（x0）即可.,解(1)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同1f(x)=x+2a,由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),即,由x0+2a=,得x0=a或x0=-3a(舍去).即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.4令h(t)=t2-3t2lnt(t0),则h(t)=2t(1-3lnt).故当t(1-3lnt)0,即0t时，h(t)0;.5当t(1-3lnt)0,即t时，h(t)0.6,故h(t)在(0,)上为增函数，在(,+)上为减函数，.7于是h(t)在(0,+)上的最大值为h()=，即b的最大值为,(2)证明：设F（x）=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x0),.9则故F(x)在（0,a）上为减函数，在(a,+)上为增函数.11于是F(x)在(0,+)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.13故当x0时，有f(x)-g(x)0,即当x0时，f(x)g(x).14学后反思采用求导的方法，利用函数的单调