2.3《等差数列的前n项和》第一课时.ppt

复习,等差数列的性质数列an是公差为d的等差数列,an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,1.通项公式,2.若m+n=p+q则am+an=ap+aq,3.an是有穷等差数列，则任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和，即a1+an=a2+an-1=ai+ai-1=,数列an前n项和的定义:,Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,叫做数列的前n项和。,高斯，(17771855）德国著名数学家。,引入,1+2+3+98+99+100=？高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？,我们下面的解决这个问题。,1+2+3+100=？,高斯的算法是：,首项与末项的和：,第2项与倒数第2项的和:,第3项与倒数第3项的和:,第50项与倒数第50项的和:,于是所求的和是：101=5050,1+100=101,2+99=101,3+98=101,50+51=101,高斯的算法实际上法解决了等差数列：1，2，3，n，的前n项和问题,下面再来看1+2+3+98+99+100的算法。,设S100=1+2+3+98+99+100,反序S100=100+99+98+3+2+1,多少个101?,100个101,所以S100=,(1+100)100,？,？,首项,尾项,？,总和,？,项数,这就是等差数列前n项和的公式！,=5050,2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an),多少个(a1+an)?,共有n个(a1+an),把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1),由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq知：,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1，所以式可化为：,=n(a1+an),这种求和的方法叫倒序相加法！,因此，,以下证明an是等差数列，Sn是前n项和，则,证：Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,即Sn=,a1,an,+a2+,+an-1+,a3,an-2,+,等差数列的前n项和公式的其它形式,等差数列的前n项和例题,想一想,在等差数列an中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?,结论：知三求二,解题思路一般是:建立方程(组)求解,等差数列的前n项和例题,1.根据下列条件，求相应的等差数列的,例1.2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”的工程通知.某市据此提出了实施“校校通”小学工程校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?,解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中，d=50.,那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为（万元）,解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中，d=50.,答：从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。,例2.己知一个等差数列an前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?,解：由题意知,得,所以,-，得,代入得：,所以有,则,例3已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？,可知：当n1,当n=1，,也满足上式.,所以数列的通项公式为.由此可知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。,小结,1.等差数列前n和公式的推导方法：倒序相加法；2.等差数列前n和公式及其变型；3.应用等差数列前n和公式解题时注意整体代入的思想，并注意借助定义、性质简化运算.,作业：,练习：1,2,注意：对于这两个公式分别有四个未知数，如果已知其中的任何三个可以求另外一个。第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系