2连续系统的时域分析1.0.ppt

第二章,连续系统的时域分析,2.1引言,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。建立线性微分方程：基尔霍夫电压定律(KVL),基尔霍夫电流定律(KCL);两种基本的求解方法解微分方程法卷积法由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,建立线性微分方程示例,利用KVL定理列回路方程，可得,因此这是二阶系统的数学模型二阶线性微分方程。,微分方程的经典解一般n阶LTI系统的微分方程为微分方程的经典解齐次解是齐次微分方程的根,特解的函数形式与激励函数的形式有关rh(t)也称为自由响应,rp(t)称为强迫响应.,零输入响应和零状态响应系统的响应不一定要划分为自由响应和受迫响应,也可划分为零输入响应和零状态响应;零输入响应:系统在无输入激励的情况下,仅由初始条件(初始状态)引起的响应;零状态响应:系统在初始状态为零(无初始储能)的情况下,仅由外加激励源引起的响应;根据叠加原理:全响应=零输入响应+零状态响应注意:自由响应不等同于零输入响应,受迫响应不等同于零状态响应.,2.2系统方程的算子表示方法,算子定义微分算子积分算子,示例,可表示为,可表示为,注意:算子方程中的每一项表示的是运算关系，而不是代数量,算子运算法则可进行类似代数运算的因式分解或展开:(p+a)(p+b)x=p2+(a+b)p+abx;算子方程左、右两端的算子符号p一般不能随便消去。如由px=py解得x=y+C而非x=y,因此px=py,但xy;分子分母中的算子符号p不一定能消去,转移（传输）算子H(p),将微分方程写成算子方程后,可利用它与代数方程的相似关系方便地求解齐次方程:D(p)r(t)=0,从而得到系统的零输入响应.作业:P772.1,2.3系统的零输入响应,零输入响应:系统在无输入激励的情况下,仅由初始条件(初始状态)引起的响应,即求齐次方程的解:一阶齐次微分方程,c由初始条件r(0)确定,由于r(0)=c,因此,二阶齐次微分方程,c1,c2由由初始条件r(0),r(0)确定,即,n阶齐次微分方程特征方程:D(p)自然频率:1、2、.、nn个系数c1、c2、.、cn由n个初始条件r(0)、r(0)、r”(0)、.、rn-1(0)确定。,可用矩阵形式表示为,有一k重根的情况,即,特征方程中含有因子:(p-)k,例2.3-1:RLC串联电路,求初始条件:i(0)=0,uc(0)=10V时,电路的零输入响应电流.步骤建模:列微分方程,并转换为算子方程求特征方程的根利用初始条件确定待定系数ci,解:建模求特征方程的根,利用初始条件确定待定系数ci,代入i(0)=0,uc(0)=10V,得到i(0)=-10A/s,作业:P792.5(1)2.6(1),2.4奇异函数,奇异函数:函数或其各阶导数有一个或多个间断点.阶跃函数和冲激函数均属于奇异函数,阶跃函数,单位阶跃信号(t)定义注意:阶跃信号在发生跃变的时刻没有定义,阶跃函数性质开关特性或因果（单边）特性可以方便地表示某些信号,f(t)=2(t)-3(t-1)+(t-2),用阶跃函数表示信号的作用区间积分(斜变函数R(t),冲激函数,从单位阶跃函数到单位冲激函数,任一时刻t=t0时的冲激函数记为(t-t0)，表示式为冲激强度上式的积分值(面积),作图时强度一般标在箭头旁.,冲激函数的性质与普通函数f(t)的乘积取样性质若f(t)是在t=0处连续的有界函数，则类似有：含义:如果要从连续函数f(t)中抽取任一时刻的函数值f(t0)，只要用f(t)乘以(t-t0)，并在(-,)区间积分即可。,与单位阶跃函数(t)互为积分、微分关系偶函数,冲激函数的导数(t)（也称冲激偶）,0,0,2.5信号的脉冲分解,时域中求解零状态响应:先将复杂的激励信号分解成一系列单元激励信号(奇异信号);然后在输出处叠加得到总的零状态响应.,周期信号表示为奇异函数之和周期矩形脉冲周期锯齿脉冲信号,任意函数表示为阶跃函数的积分,t=kt时叠加的阶跃函数为,任意函数表示为冲激函数的积分,第k+1个脉冲可近似表示为,2.6阶跃响应和冲激响应,LTI系统的微、积分性质若e(t)r(t)，则证若e(t)r(t),由时不变性，输入时移t，输出也时移t，得到e(t-t)r(t-t)由叠加性e(t)-e(t-t)r(t)-r(t-t),再由比例性,得到两边取极限,该性质说明,当系统的输入是原信号的导数时，LTI系统的输出亦为原输出响应的导数,这一结论可以推导到高阶导数与积分,即若e(t)r(t)，则,单位冲激响应h(t)和单位阶跃响应r(t)的关系关于0-和0+在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值r(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关.当t=0+时,激励已接入,该时刻的值r(j)(0+)包括前者,以及因施加激励而产生的状态突变两部分的和.若e(t)中包含奇异函数,则r(0-)r(0+),特征方程为单根时的单位冲激响应输入为单位冲激信号(t)时，系统的零状态响应定义为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t),h(t)由传输算子表示为h(t)=H(p)(t)或记为(t)h(t),式中,nm,等式两边同时乘以,若n=m若nm则h(t)中还包含直到(m-n)(t)的冲激函数的各阶导数,例2.6-1RC串联电路初始状态为零,受激于单位冲激电压源,求响应电流及电容上的响应电压解:列电路方程求特征方程的根,由于等式两侧最高微分阶数相同,因此将上式代入电路方程得最后一项为零对应项系数应相等,并考虑(t)的取样性质,求uc,例2.6-2设系统的微分方程为下式,求此系统的冲激响应解:求特征方程的根,二重根因系统方程等号左边的阶数大于右边,因此h(t)中不包含(t)及其各阶导数,可设求导得到,将h(t),h(t),h(t)代入系统方程求得k1=1,k2=0,因此冲激响应为上面求解h(t)的方法称为系数平衡法.可将(t)的作用转化为t=0+时的初始状态,从而求h(t)即转化为求相应初始状态下的零输入响应.对于算子方程为下式的线性系统冲激响应可由下式确定,上式左边有冲激函数项,该项在等式右边只可能出现在最高阶项hn(t)中对上式两边取0-到0+的定积分由于hn(t)中含有冲激函数,则h(n-1)(t)中含有阶跃函数,而其它阶导数为连续函数,因此上式左边除第一项外其余项为零,因此由于因此由此得到求解零输入响应的初始条件.,例2.6-3设系统的微分方程为下式,使用零输入响应方法求此系统的冲激响应解:求特征方程的根,二重根该系统的齐次解为求导得将h(0+)=1,h(0+)=0得到,因此冲激响应为,注：对更一般的LTI系统方程右端不只有e(t)，还包含e(t)各次导数项时，如下式：利用LTI系统的线性性质,可按以下步骤求解方程左端不变，令右端仅为e(t)，按上述方法求解，计为h1(t)。按原方程右端形式由h1(t)求出h(t),例2.6-4:描述某系统的微分方程为（Book,p51例题2-5）求其冲激响应h(t)解:设h1(t)为方程的冲激响应则有h1(t)的初始值为：由特征方程可求出系统冲激响应为：,将初始值代入h1(t)可求出待定系数，得由h1(t)求h(t),代入得：,作业:P802.11(激励为(t)时的响应电压uR(t),2.15(5),2.7叠加积分p52-p53,当系统的初始状态（储能）为零时，其响应是零状态响应rzs(t)。利用系统的单位冲激响应以及LTI系统的时不变性、齐次性以及积分特性，我们可以得到因果系统的零状态响应yzs(t)。,根据LTI系统的时不变性，当输入移位时，(t)h(t)输出也移位，可以得到(t-)h(t-)根据LTI系统的齐次性，当输入乘以强度因子e()时，输出也乘以强度因子e()，又得到e()(t-)e()h(t-)最后利用LTI系统的积分特性，若输入信号是原信号的积分，输出信号亦是原信号的积分，可以得到,因果系统的零状态响应rzs(t)这种求解响应的方法与以往求解微分方程不同，故称之为时域法；又由于上式是数学卷积运算的一种形式，因此也称卷积法.卷积计算的具体步骤变量转换，将e(t)变为e(),h(t)变为h(t-)；将e()与h(t-)两个函数相乘第三步确定积分上、下限，即找到e()h(t-)相乘后的非零值区；对e()h(t-)积分得出零状态响应rzs(t),例2.7-1如图所示电路，已知激励电压e(t)=(t)，用时域法求零状态响应i(t)。,解:求冲激响应h(t)系统方程冲激响应由于h(0+)=1,因此k1=1,因此,求零状态响应总结，可以看到时域法是利用系统的冲激响应，借助卷积积分来完成系统的零状态响应求解。,2.8卷积及其性质,卷积积分的定义已知定义在区间(，)上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为g(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。,卷积的图解法卷积过程可分解为四步：换元：t换为得f1()，f2()反转平移：由f2()反转f2()右移tf2(t-)乘积：f1()f2(t-)积分：从到对乘积项积分,即曲线f1()f2(t-)下的面积,注意：t为参变量,例f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。,解采用图形卷积。,f(t-),f()反折,f(-)平移t,t0时,f(t-)向左移,f(t-)h()=0，故yf(t)=0,0t1时,f(t-)向右移,1t2时,3t时,f(t-)h()=0，故yf(t)=0,2t3时,0,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？,f1(-),f1(2-),解：,（1）换元,（2）f1()得f1(),（3）f1()右移2得f1(2),（4）f1(2)乘f2(),（5）积分，得f(2)=0（面积为0）,卷积积分的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则）。灵活地运用它们能简化卷积运算，便于系统响应的求解。交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t),交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)物理意义：,函数和与横轴围成的区域面积相等。,系统激励与冲激响应可以互换而系统的响应不变。,分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)物理意义：用数学上的卷积说明了零状态响应的可加性性质。给出了LTI系统并联的等效模型。,结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)物理意义：给出了LTI系统串联的等效模型。说明对LTI系统，相互串联的子系统之间顺序互换并不影响整个系统的输入输出关系。,卷积的微积分性质微分对两个函数的卷积函数微分，等于对其中一个被积函数微分后再卷积。积分对两个函数的卷积函数积分，等于对其中一个被积函数积分后再卷积。应用类似的推导，可导出卷积的高阶导数和多重积分的运算规律。,微、积分性质若定义以下符号：则有更一般的还可推出可由e(t)与h(t)的卷积公式，推出e(t)与阶跃响应g(t)的卷积公式，即,式中，g(t)是系统对单位阶跃信号的零状态响应，简称单位阶跃响应。,函数延时后的卷积若则有：物理意义：系统激励和系统的冲激响应分别作一定时间的延迟，若总的延迟时间不变，系统的零状态响应就是一定的。,奇异函数的卷积特性f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)推论任意函数与(t-t1)卷积，相当于该信号通过一个延时（移位）器。,f(t)*(t)=f(t)证明:f(t)*(t)=f(t)*(t)=f(t)一般情况:f(t)*(n)(t)=f(n)(t)f(t)*(t)=任意函数与(t)卷积，相当于信号通过一个积分器特殊情况:(t)*(t)=t(t),例2.8-1：f1(t)如图,f2(t)=et(t)，求f1(t)*f2(t)解:利用卷积的微积分性质,例2.8-2计算解:方法一:利用卷积的微积分性质方法二:利用卷积的分配率及时延性质,作业:P822.20(4),总结求解卷积的方法可归纳为：利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。利用性质。比较灵活。,相关函数相关函数的概念：,2.9线性系统的时域求解,全响应全响应=零输入响应+零状态响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)零输入响应由系统的特性和t=0时系统的初始储能决定,可由求解齐次方程得到;零状态响应由系统特性和外加激励决定,可由激励函数和系统的单位冲激响应相卷积得到.,零输入响应若特征方程为单根若有一k阶重根,ci由初始条件确定,零状态响应系统的冲激响应特征方程为单根(p68)若有一k阶重根若n=m则h(t)中还包含直到(m-n)(t)的冲激函数的各阶导数,n,m分别为系统微分方程左右两侧的阶数激励与冲激函数的卷积全响应,指数函数信号激励下系统的响应指数函数是一种典型信号,通过网络后保持原指数形式;一些重要的信号或是指数函数信号的特例或由指数函数信号组成(如阶跃函数,正弦函数),若e(t)=est(t),将自然响应项归并,其中,(系统函数),零输入响应、零状态响应、自然响应、受迫响应、瞬态响应、稳态响应零输入响应、零状态响应自然响应、受迫响应零输入响应是自然响应的一部分；零状态响应是既有受迫响应，也有自然（由）响应。,零输入响应,零状态响应,自然响应,受迫响应,瞬态响应、稳态响应一个真实系统，自然响应必定随着时间的增长趋于零；受迫响应视激励的性质可能趋于零或者趋于稳定状态；系统响应中随时间的增长而趋于零的部分称为瞬态响应部分，简称瞬态响应；系统响应