《微积分》第一篇第三章讲 义 导数的应用.ppt

经济数学基础微积分,第三章导数应用,极大（小）值，边际及需求弹性概念,本章难点：极值点，导数在几何、经济分析中的应用,本章重点：,注：3.2节“函数极值”只要理解概念,一、函数的单调性,主要学会用导数去判断函数的单调性。,1、单调性定义：P8,什么叫函数的单调性？1.1节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加，函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫做单调减少的,2、单调性的判别方法,方法一：用定义判别，见P-9例8。这种方法通常较麻烦、计算困难。,方法二：用一阶导数判别法定理3.1,定理3.1P124,意义：利用导数的符号判别函数的单调性,于是判断函数单调性的方法为:,例1.1,解：,如图,例1.2,解：,二、函数极值,函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点,1、函数极值的定义：,可见：x1是极大值点，x4也是极大值点,x2是一个极小值点，x5也是一个极小值点,端点a、b和x3不是极值点,特征：点x0的左边曲线是上升的，即导数值（斜率）大于0；右边曲线是下降的，即导数值（斜率）小于0,由此可知，极大值点的左、右两边的导数是不一样的，即由正变到负。,特征：点x0的左边曲线是下降的，即导数值（斜率）小于0；右边曲线是上升的，即导数值（斜率）大于0,由此可知，极小值点的左、右两边的导数是不一样的，即由负变到正。,此时，在x0点的左、右两边的导数不变号。,2、最大值、最小值及其求法,端点a、b和x3不是极值点,函数在a，b上最大（小）值点是哪一个？,即：最大（小）值在端点取得。,结论：,这结论说明了，什么情况下极值点等于最值点。在经济分析中十分有用。,三、导数与微分在经济学中的应用,2、边际分析,1、需求价格弹性,1、弹性,需求价格弹性的定义,其经济含义为:,例3.1：（06春考题）,设需求量q对价格p的函数为,则需求弹性为,解：,2、边际问题,边际概念是与导数密切相关的经济学概念,实际上，求边际函数就是对原函数求导,成本函数（P29）是产量的增函数。,注：成本函数固定成本可变成本,求边际经济函数，就是求经济函数的导函数。,经济函数的导数称为边际经济函数：,(1)需求函数,边际需求,(2)成本函数,边际成本,(3)收入函数,边际收入,(4)利润函数,边际利润,这里q为“产量”,这里q为“销售量”,注：(2)(4)都是q的函数，都关于q求导,求经济函数最值的求解步骤：,(1)列出目标函数：此处的目标函数就是使所求实际问题达到最大值或最小值的函数。,(2)对目标函数求导数；,(3)令目标函数的导数为0，求出驻点；,(4)若驻点惟一，则该驻点就是我们所求的最值点；,(5)得出结论。,3、经济分析中的最值问题,例3.2,解:,这是一个求最值的问题。,设利润函数为L(x),那么边际利润,求得唯一驻点,因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000台时，可使利润达到最大。,例3.3:设某产品的成本函数为,其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？,解:,因为平均成本,且,解得q1=50（台），q2=50（舍去）,因为有意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。即当产量为50台时，平均成本最小。,最小平均成本为,=7（万元）,例3.4：生产某种产品的固定费用是1000万元，每多生产1台该种产品，其成本增加10万元，又知对该产品的需求为q=1202p(其中q是产销量，单位：台；p是价格，单位：万元).求,(1)使该产品利润最大的产量；,(2)使利润最大的产量时的边际收入.,解：,（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，于是,C(q)=10q+1000(万元),得到q=50(台),因为驻点唯一，故q=50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获最大利润。,(