矢量场与标量场以及计算方法

标量场和矢量场、标量场梯度、矢量场的通量和分散度、矢量场的环量和旋转度、亥姆霍兹定理、电磁场的特殊形状、电磁场和电磁波、VectorAnalysis (矢量分析)、1标量场和矢量场、补充： 01 .矢量函数、二维空间或三维空间内的任意因为其为一量值(或称为模型)及定向特性的量，所以称为实数向量，其一般由黑体a表示。 在几何图元中，从该点绘制带箭头的直线段，直线段的长度表示矢量a的类型，箭头方向表示矢量a的方向。 另外，若将向量给予物理单位，则成为具有物理意义的向量，例如电场强度e、磁场强度h、速度v等。 实际遇到问题的是模型和/或方向变化的向量，例如物体沿曲线移动的速度v。 另外，在某个向量的类型和方向不变的情况下，将该向量称为通常向量，如某个物体受到的重力那样。 设t为一定变量，设a为变量向量，如果与某区间Ga，b内的各数值t、a对应一个确定向量A(t )，则a称为变量t的向量函数。 记为，g是a的定义域。 向量函数A(t )的正交坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，如果分别为Ax(t )、Ay(t )、Az(t )，则向量函数A(t )也可以由其坐标表示，并且ex、ey、ez为x轴、y轴以及z轴正方向单位向量。 另外，终点一般被称为向量函数A(t )的向量端曲线。 此外，图1-1的正交坐标系中的一点的投影；1 )标量积任意的两个向量a和b的标量积(ScalarProduct )是等于两个向量的大小与它们的角度的馀弦的积的标量，如图1-2所示，表示为图1-2标量积，02 .向量的积另外，AB=ABcos，任意的两个向量a与b的向量积(VectorProduct )是一个向量，向量积的大小等于两个向量的大小与它们所成的角的符号的积，其方向垂直于由向量a与b构成的平面，如图1-3所示，向量积的大小为两个向量的大小根据分配规则，AB=-BA，2 )向量积C=AB=enABsinen=eAeB (右手的螺旋)、图1-3的向量积的图示与右手的螺旋(a )向量积(b )右手的螺旋、1 .在标量场与向量的情况下：某个空间区域内的各点与某个物理量的决定值对应换句话说，在一个空间域中，物理量的无穷集合指示场(field )。 当温度分布在教室决定温度场时，空间电位的分布决定了电位场。 场的一个重要属性(其中物理量的值可以相等)是空间占用空间，而且在所述空间区域内，除了有限的点和表面之外，物理量应当在任何地方连续。 另外，与时间无关，将该字段称为静态字段，如果该物理量与时间有关，则将该字段称为动态字段或时变字段。 字段是标量或向量的位置函数，字段中的任何点都具有标量或向量。 例如，以直角坐标：标量场、物理系统中的温度、压力、密度等一定空间内的分布状态的研究时，在数学上仅用一个代数变量描述，由这些代数变量(即标量函数)确定时，是温度场T(x，y，z )、电位场(x，y，z )、高度场等标量场。 虽然是向量场，但在很多物理系统中，其状态不仅要决定大小，还要决定方向。 有必要在向量场记述。 例如电场、磁场、流速场等。该方程式为：图0.1.1等高线，(1)标量场-等值线(面)，图像为描绘场分布的工具场线，考虑在某高度向哪个方向变化最高，2 .标量场的等值面，该曲面的任意点的函数值相等的等值面满足场所的某个空间由于是单值函数，所以等值面不相交，在三维场、二维场、图0.1.2向量线、3向量场向量线(力线)，其方程式为：直角坐标：目的：以图像方式描绘向量场a的分布的特征： (1)其上的各点的切线方向与向量场在该点的方向相同矢量场中的矢量线也充满场整个区域，但它们不相交，图1-4矢量场的矢量线，物理意义：矢量线与场量的变化方向一致，矢量管：通过场区域的曲面s上的所有点的矢量线整体构成的管状区域。 此外，图1-5矢量管，0.2标量场的梯度GradientofScalarField，1 .方向导数：设定标量函数(x，y，z )，如果在点p处函数微小，则使在点p处向任意的方向l变化的率为方向导数，即，在式中，分别以任意的方向与x、y、z轴的角度成直角地进行变化。 如果l的方向和g的方向垂直，则方向导数为0，而如果l的方向和g的方向相反，则方向导数在-1处取最小值，在这种情况下，最小化的是梯度运算符，哈密顿运算符，其中，图0.1.3等温线分布，梯度的方向是最大方向导数的方向。 梯度的大小是该点的标量函数的最大变化率，即最大方向导数。 标量场的梯度是向量，是空间坐标点的函数。坡度的含义、2 .坡度、读作“del (戴尔)”和“nabra (纳布拉)”，标量场的坡度函数确立了标量场和向量场的关系。 这个关联可以用标量函数研究某种矢量场，或者可以用矢量场研究标量场。 标量场梯度垂直于穿过该点的等值平面(或切线平面)，示例0.2.1电势场梯度、图0.2.2电势场梯度和电势场梯度垂直于穿过该点的等位线，数值等于该点的最大向导函数，指示电势增加的方向。 解：如果点m的坐标为x0=1、y0=0、z0=1，则该点的数场值为=(x0 y0)2-z0=0。 其等价面方程式，或者是例1-1中求出数量场=(x y)2-z通过点m (1，0，1 )等价面方程式. 例如，在产生点电荷q的静电场中，试图证明电位函数的负梯度等于电场强度e . 解：产生电荷q的电位为0.3矢量场的通量和分散度，1通量(Flux )，矢量e为沿着有向曲面s的面积量，如果s为闭曲面，则为fluxandddiversityofvector，如图0.3.1矢量场的通量(曲面s的单位法线矢量en ) An是en上的a的投影，如果s是闭曲面，则是闭面上的光源的性质： 2、能够根据网络流束的大小判断2分散度，在由包围点p的闭合面s包围的区域v任意缩小为点p的情况下：分散度(divergencence )、流束能够看作在v内的各点的发散强度的体积分量，从里式、分散度的意义来看，在向量场中，如果a=0，则为活动(active ) 矢量的分散度是标量，空间坐标点的函数即分散度表示矢量场的通量源的分布特性。 0.3.3色散定理，图0.3.4色散定理，高斯定理，向量函数面积分和体积分的相互转换。 另外，0.4向量场的环量和旋转量、0.4.1环量(Circulation )、向量a沿空间的闭合曲线l的线积分、环量、环量的大小与闭合路径有关，表示绕环的旋转倾向的大小。 circulationandotationofvectorfield，水流沿平行于水管轴线的方向流动，=0，无滚动运动。 图0.4.2流速场，流体作涡旋运动，0，有产生涡旋的来源。 例如：流速场，1 .环密度，通过点p为微小曲面s，其边界曲线为l，面的法线方向和曲线的旋转方向符合右手的法则。 在s点p有界限，环量密度、环量密度是每单位面积的环量。注意：循环密度取决于选定曲面图元的法线方向，“旋转”(Rotation )、“旋转”(Rotation )和“旋转”(Rotation )，其中上述方程右侧的积分可视为向量通过曲面s的通量，s表示曲线l周围的曲面。 将p作为向量场的任意点，制作包含p点的微小的体素s，将其周边作为l，其正方向和体素s的法线向量n成为右手的螺旋关系(图)。 向量a在l方向上的环量： rotnA是旋转向量rot在n方向上的投影，并且通过使用中值定理m中的一个点来收缩p点，表示旋转定义的极限形式：旋转体的物理意义，旋转体的总结：向量的旋转体是向量，并且是空间坐标点的函数。 的双曲馀弦值。 其方向是该点的环量密度的最大值，曲面- s的方向等于环量密度的最大值。 在向量场中，将a=j0称为回旋场(或旋涡场)，将j称为回旋源(或旋涡源)。 如果向量场在任何地方a=0，则称为无旋转场。 由此可知，rotnA表示向量场a在p点的环量密度，与该点的曲面要素的法线方向有关系。 在旋转角度rot与n的方向相同的情况下，环量密度取最大值。 旋转度(curl )，直角坐标为：4 .斯托克斯定理(stockestheorem )，矢量函数的线积分与面积分的相互变换。 电磁场理论中高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。 例1-12求出矢量场A=x(z-y)ex y(x-z)ey z(y-x)ez在点m (1，0，1 )处的旋转度和沿着n=2ex 6ey 3ez方向的环量面密度. 解：矢量场a的旋转度、点m (1，0，1 )处的旋转度、n方向的单位矢量、点m (1，0，1 )处的沿着n方向的环面密度、6、无源场和无源场、1、无源场矢量场a中场区域中的各点固定：性质1 :无源场中场区域v中的任意矢量管(证明略)，性质2 :在被动场中存在矢量势，根据常数式：(矢量场的旋转度一定是无分散场)，矢量场f存在被称为：f存在a的矢量势，2，在无旋转场矢量场a中，场区域中的各点存在常数：性质1 :无旋转场a是场区域v 性质2 :没有旋转时必定可以表现为某标量场的梯度，常数式：可以看出满足标量场：矢量场a称为势场，称为位函数，有调和场的分散度和旋转度等于零的矢量场。 作为调和场a的比特函数，将上式称为拉普拉斯方程式，满足该方程式的解，将具有2次连续的偏导函数的函数称为调和函数，如果向量场只是无旋转场，则2个比特函数满足泊松方程式。 例如：0.5亥姆霍兹定理，亥姆霍兹定理：亥姆霍兹定理的简单表示是如果向量场f在无限空间中的任何地方都是单一值，并且其导数连续分布在有界上，则唯一地确定向量场的分散度和旋转度，作为标量函数的梯度和向量函数的旋转度的和在HymherzeTheorem (即有限区域)内，向量场由其分散度、旋转角度、边界条件唯一地确定。 分散度，旋转度分别对应于通量源的密度和涡流源的密度，在无限空间中有分散度和旋转度的向量场可以表示为一个无旋转场A1有分散度)和一个无分散场A2 (有旋转度)之和：其中，分散和旋转度源分开，在电磁场中确定电荷和电流，即分散度和旋转度源相当于确定“源”的分布，已知确定一个场所需要条件的0.6特殊形式的电磁场，在与某轴垂直的(设为z轴)一族的平行平面上，如果场f的分布相同，则F=f(x，y )，将该场称为平行平面场。 1 .平行平面场，specialforsoferelectromagneticfield，例如具有无限长带均匀电荷的直线导线所产生的电场。 0，2 .球面对称场在一族同心球面上(以球心为原点)，如果场f的分布相同，则F=f(r )，该场称为球面对称场。 点电荷引起的电场；带电球体产生的电场。另外，在0、1.2这3个常用坐标系的向量场合，正交坐标系圆柱坐标系、场点的坐标位置向量的坐标分量、位置向量、距离向量、正交坐标系场点的坐标位置(x，y，z )、圆柱坐标系、圆柱坐标系的任意点表示点为3个坐标曲面、的交点。 正交坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系、球坐标系、正交坐标系坐标与球坐标系坐标的关系、垂直于由z轴和点构成的平面，沿着增大侧的方向。 中选择所需的墙类型。 以，z为轴，半径为轴的圆筒面在点的外侧法线方向。向量场的圆柱坐标系成分、圆柱坐标系单位向量：x，y，z，x，y，o，向量的点的直角坐标成分和圆柱坐标成分的变换矩阵：圆柱坐标系的体积元，空间的任意点的坐标单位向量。 互相正交，遵循右手螺旋定律。 以、矢量场的球坐标系成分、圆柱坐标系单位矢量、半径、原点为球心的球面位于点的外法线方向。 中选择所需的墙类型。 以原点为顶点、以z为轴的圆锥位于点的外侧法线方向。 另外，向量场的球坐标系成分根据特征：1)位置而球坐标系单位向量方向不同。 2 )矢量场的方向为球面的法线或切线时，用球坐标表现不仅形式简单，图像也容易理解。 此外，