代数学期末考试题

高观点下中学数学代数学练习题一一、填空1、由AB的单映射的定义为（ (a) (b) ab ）。2、由AB的满映射的定义为（ :AB (A)=B ）。3、自然数a与b相乘的定义中两个条件为（ a1=a ab=ab+a）。4、环的理想定义为（ I是子环 aR bI abI ）。5、剩余类环中可逆元素（ 1,3,5,7,11 ）。6、为有理数域上的（B ）。 A、代数元 B、超越元7、y=lg x则（A ）A、y是上凸函数 B、y是下凸函数 8、+=m的非负整数解的个数为（ C ）。9、下面不等式正确的是（ A ）。A、 B、 10、n个数码的扰乱排列总数为（ n!(1-1+（-1)） ）。11、在二阶方阵环（实数域上）中找出两个零因子（ = ）。12、素元素的定义为（ p|ab p|a 或 p|b ）。13、不可约元素的定义为（ a=bc b是可逆元或c是可逆元 ）。14、+=（ C ）。15、在剩余类环中不可逆的元素为（ 1，3，5，7 ）。16、若|A|=m，|B|=n，则AB的所有不同映射的个数为( B ) A、 B、 C、nm 17、皮阿罗公理中的归纳公式为（ 1M 由aMaM ）。18、由AB的单映射的定义为（ ab(a)(b) ）。 19、自然数a与b加法的定义中两个条件为（ a+1=a a+b=(a+b) ）。 20、若f(x) =为上凸函数则( B )。 A、k1 B、0k1 C、kb的定义为（ a=b+k ）。23、在整数集合中求两个数的最大公因数（ A ）。 A、是代数运算 B、不是代数运算24、若集合|A|=n，则集合AA的映射共有（n ）种。25、素元素的定义为（ P|abP|a或p|b ）。二计算题1.若abc0，且a+b+c=1，求（1）、2abc的极大值。（2）abc=1，求2a+b+4c的极小值。答： ()是abc的极大值 2abc的极大值为 =2 2a+b+4c的极小值为62.上11阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有多少种不同的法？答：f=f（n-1）+f(n-2) f(11)=1443. 在中，求一个多项式f(x)使得f()=，f()=答：f(x)=(x-)(x-)=x+4. n对夫妻一起跳舞，问刚好有K对夫妻为舞伴的方法有多少种？答：Ck!(1-1+（-1)）5.从8个数字中取3个数字，但不准取连续两个数字的方法有多少种？（其中1和8这两个数字也算连续数字）。答：g(8 3)=f(5 2)+f(7,3)6. 若R是因式分解唯一环，求证：（1）、(a,b),c) (a,(b,c) （2）、(ab, ac) a(b,c)答： (a b),c)=d 则d|c d|a d|b d|(b c) d|(a(b c)同理可证明相反情况 （ab ac）=f (b c)=d ad|ab ad|ac ad|f f=adzf|ab f|ac ab=fx=adxz ac=fy=adyzb=dxz c=dyz dz是bc的公因式 z是可逆元7.若x0,y0,z0且满足9+12+5=9 , 求3x+6y+5z的极大值。答：3x+6y=5z=13x+6y+5z(1+()+()(ax+12y+5z)=(1+)9=81 而3x+6y=5z极大值为818.求证半径为R的圆内接n边形以正n边形的面积最大。答：圆内接n 边形的面积为S 则：S=R（SinQ+SinQ+SinQ） 但 f(x)=Sinx 是上凸函数 Sin(SinQ+SinQ+SinQ) Sin(SinQ+SinQ+SinQ) 只有当Q=Q=Q=时等号成立 只有当正n边形时面积最大9.若环R=| mZ，kZ ，求证R是整环，并求出R中的所有可逆元素和不可约元素。答：可逆元素为 K为整数 不可约元素 P为不等于2的素数10.求在剩余类环中，（）()=的根。答：(x-)(x-)= 的根为 x= x= x= x=11.求多项式展开合并同类项后（1）共有多少项？（2）的系数为多少？答：C=C , 12.从不大于100的正整数中，能被2，或3，或5整除的自然数共有多少个？答：=50 =33 =20 =16 =10 =6 =3 所求数为：50+33+20-16-10-6+3=7413、求自然数集合N到整数集合Z的一个满映射，但不是单映射。答：（n）=n-1 , nN14求证代数系统(,)与代数系统(R,+)是同构的，其中表示正实数集合，R表示实数集合，与+就是通常的实数乘法与加法。答： (x)=lnx 是RR 的双射 (xx)= lnx x=lnx+lnx= (x)+ (x) 是同构映射15、若x0,y0,z0且满足3+4+5=20 求9x+16y+7z的极大值。答：9x+16y+7z=9x+16y+7z (3x+4y+5z)=(27+64+)20=2016 9x+16y+7z的极大值为2016高观点下中学数学代数学练习题二一 、填空1、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射（ f(0)=1 f(-n)=2n (n0) f(n)=2n=3 (n0) ）。2、素元素的定义为（ p|abp|a或p|b ）。3、不可约元素的定义为（ a=bcb或c是可逆元 ）。4、中的可逆元素为（ 1,3,5,7 ）。5、+=10方程的非负整数解的个数为（ C=C ）。6、自然数ab的定义为（ a=b+k ）。7、在整环R=a+b | aZ，bZ 中2是( A )A、不可约元素 B、素元素8、+=（ C ）。 9、若|A|=m |B|=n，则AB的所有不同映射的个数为( B ) A、 B、 C、nm 10、f(x)=，g(x)=Sin x （0xb的定义为（ a=b+k ）。12、皮阿罗公理中没有前元的元素为（ 1 ）。13、自然数的加法的定义中两个条件为（ a+1=a a+b=(a+b) ）。14、柯西不等式等号成立的条件为（ C ）。A、 i=1,2n B、=0 i=1,2n C、= 15、整环中因式分解不是唯一的例子是（ R=|a,b 4=22=(1+)(1-) ）。16、是有理数环上的（A ）。 A、代数元 B、超越元17、n个数码的扰乱排列总数为（ n!(1-1+ (-1) ）。18、在剩余类环 中不可逆的元素为（ ）。19、有理系数n次多项式在有理数域内（ B ）。 A、最少有n个根 B、最多有n个根 C、最少有一个根 D、没有根20、从n 个元素中取n+1个元素（允许重复取）有（ C ）种方法。21、不可约元素的定义为（ a=bcb或者c 是可逆元 ）。22、由n个数码中取n+1个数码（允许重复取）有（ C=C ）种方法。23、在剩余类环中可逆的元素为（ ）。24、柯西不等式等号成立的条件为（ = ）。25、f(x)为上凸函数的定义为（ f(qx+qx)qf(x)+qf(x) ）。二计算题1.已知x0,y0,z0。且满足3+=15 求2x+3y+4z的极大值。答：2x+3y+4z=2x+3y+4z(2+3+4)(3x+y+z)=2915=435 2x+3y+4z 极大值为4352.若0k1,求证其中=1, i=1,2,n答：f(x)=x 0k1时上凸函数所以有（x）x3.上12阶台阶，每次可上一阶或二阶，共有多少种不同的上法答：f(n)=f(n-1)+f(n-2) f(1)=1 f(2)=2 f(11)=1444.求出1-10000中，能被3，或5，或7整除的自然数共有多少个？答：=3333 =2000 =1428 =666 =476 =285 =95 3333+2000+1428-666-476-285+95=54295.若环R=| mZ，kZ找出所有可逆元素和不可约元素。答：可逆元素 K为整数 不可约元素 P2的素数6.若数域F含有无穷多个元素，求证：域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。答：代数相等分析相等 反之 若F f()=g() f(x)=Qx+Q g(x)=bx+b 则 f(x)-g(x)=(a-b)x+(a-b) 有无穷多个根 a=b7.令为正有理数集合，若规定 问（1）,是否构成代数体系，是否满足结合律。答：, 构成代数体系，但不满足结全律（2）,是否构成代数体系，是否满足结合律。答：, 不构成代数体系8.分别利用归纳法与反归纳法证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。答：n=2成立 设k=n 成立 S= S= S= K=n-1时命题成立9.求证整数环是主理想环。答：证明 若I 是Z的理数 设 a为I 中最小正数 若a=1 则I= Z 若a=1 对I 中任意元素b b=aq + r ra rI r=0 b=aq I=(a) 即Z为主理10.举出一个整环例子，在这个环中因式分解不是唯一的，且有的不可约元素不是素元素（这里要说明整环为什么是整环，且该元素为什么是不可约元素）。答：R=| a,b,分解不是唯一的 4=22=(1+)(1-)2是不可约元素,但不是素元素11.求从不大于1000中，能被3，或5，或11整除的自然数共有多少个？答：=333 =200 =90 = =66 =30 = =18 = =6 12.展开多项式后合并同类项共有多少项？ 的系数为多少？答：C=C ， 13.在中, 共有几个根?答：x= x= x= x=14、求证: +其中+=1 , i=1,2n答：y=lnx 是上凸函数 ln(a+a+a)lna+lna+lna a+a+a15、上12阶台阶，每次只允许上一阶或二阶，共有多少种不同的上法？答：f(1)=1