中考二次函数面积最值问题(含答案)

题型二：面积最值问题例1、（2012哈尔滨）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?21世纪教育网解：（1） （2）a=0 S有最大值 S的最大值为当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2。练习：1(2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求PBQ的面积的最大值.解：（1）SPBQ=PBBQ,PB=ABAP=182x，BQ=x，y=（182x）x，即y=x2+9x（0x4）; （2）由（1）知：y=x2+9x，y=(x）2 +,当0x时，y随x的增大而增大， 而0x4，当x=4时，y最大值=20，即PBQ的最大面积是20cm2. 2如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6t）cm，BQ=2tcm，故SPBQ=（6t）2t=t2+6tS矩形ABCD=612=72S=72SPBQ=t26t+72（0t6）；（2）S=t26t+72=（t3）2+63，当t=3秒时，S有最小值63cm3在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？解：（1）四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，BC=xm，AB+BC+CD=40m，AB=，花园的面积为：y=x=x2+20x（0x15）；y与x之间的函数关系式为：y=x2+20x（0x15）；（2）y=x2+20x=（x20）2+200，a=0，当x20时，y随x的增大而增大，当x=15时，y最大，最大值y=187.5当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.54.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y过点B作BHPN于点H则有AFBBHP，即，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当x5时，函数值随的增大而增大，对于来说，当x=4时，5如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？ 解：(1)长为x米，则宽为米，设面积为平方米当时，(平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大(2) 中间有道篱笆，则宽为米，设面积为平方米则：当时，(平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米即：使面积最大的值与中间有多少道隔墙无关6如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B=C=90.ABPPCQ.7.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解：（1）根据题意，得 自变量的取值范围是 （2），有最大值 当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米8. 较难（2012湖南衡阳）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒答案如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值； 解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，AB=10如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103tPQBO，即，解得t=，当t=秒时，PQBO（2）由（1）知：OA=8