2013年全国高考数学文科试卷江苏卷(解析版)

2013 年普通高等学校统一考试试题（江苏卷） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分。请把答案填写在答题卡相印位置上。分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1函数的最小正周期为 ) 4 2sin(3 xy 【答案】 【解析】T| 2 2 2 2设（ 为虚数单位） ，则复数的模为 2 )2(iziz 【答案】5 【解析】z34i，i21，| z |5 3双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 【答案】xy 4 3 【解析】令：，得0 916 22 yx x x y 4 3 16 9 2 4集合共有 个子集1 , 0 , 1 【答案】8 【解析】238 5右图是一个算法的流程图，则输出的的值是 n 【答案】3 【解析】n1，a2，a4，n2；a10，n3；a28，n4 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的 5 此训练成绩（单位：环） ，结果如下： 运动员第一次第二次第三次第四次第五次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：90 5 9288919089 x 方差为：2 5 )9092()9088()9091()9090()9089( 22222 2 S 7现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则 nmY Xmn7m9nnm， 都取到奇数的概率为 【答案】 63 20 【解析】m 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1，3，5，7，9 共 5 种情况， 则都取到奇数的概率为nm， 63 20 97 54 8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥ABCCBA 111 FED， 1 AAACAB， 的体积为，三棱柱的体积为，则 ADEF 1 VABCCBA 1112 V 21:V V 【答案】1：24 【解析】三棱锥与三棱锥的相似比ADEF ABCA 1 为 1：2，故体积之比为 1：8 又因三棱锥与三棱柱的体积之ABCA 1 ABCCBA 111 比为 1：3所以，三棱锥与三棱柱ADEF ABCCBA 111 的体积之比为 1：24 9抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形 2 xy 1x 区域为 (包含三角形内部和边界) 若点是区域D),(yxP 内的D 任意一点，则的取值范围是 yx2 【答案】2， 1 2 【解析】抛物线在处的切线易得为 y2x1，令 z，y x 2 xy 1xyx2 1 2 z 2 画出可行域如下，易得过点(0，1)时，zmin2，过点( ，0)时，zmax 1 2 1 2 y x O y2x1 y x 1 1 2 2 10设分别是的边上的点，ED，ABCBCAB，ABAD 2 1 BCBE 3 2 若（为实数） ，则的值为 ACABDE 21 21 ， 21 【答案】 1 2 【解析】)( 3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB 21 3 2 6 1 A B C 1 A D E F 1 B 1 C y x l B F O c b a 所以， 6 1 1 3 2 2 21 1 2 11已知是定义在上的奇函数。当时，则不等式 的)(xfR0xxxxf4)( 2 xxf)( 解集用区间表示为 【答案】(5，0) (5，) 【解析】做出 ()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，xxxf4)( 2 0x)(xfR 利用奇函数图像关于原点对称做出 x0 的图像。不等式，表示函数 y的图像在xxf)()(xf yx 的上方，观察图像易得：解集为(5，0) (5，)。 x y yx yx24 x P(5,5) Q(5, 5) 12在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为xOyC)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ，右准线为 ，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到 的距离为FlBBF 1 dFl ，若，则椭圆的离心率为 2 d 12 6dd C 【答案】 3 3 【解析】如图，l：x，c c a 2 2 d c a 2 ， c b2 由等面积得：。若，则 1 d a bc 12 6dd c b2 ，整理得：，两边同除以：，得：6 a bc 066 22 baba 2 a ，解之得：，所以，离心率为：066 2 a b a b a b 3 6 3 3 1e 2 a b 13在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，xOy),(aaAP x y 1 0x 若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 AP，22a 【答案】1 或10 【解析】 14在正项等比数列中，则满足的 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 最大正整数的值为 n 【答案】12 【解析】设正项等比数列首项为 a1，公比为 q，则：，得： n a 3)1 ( 2 1 51 41 qqa qa a1，q2，an26n记， 1 32 5 21 2 12 n nn aaaT 2 )1( 21 2 nn nn aaa ，则，化简得：，当时， nn T 2 )1( 5 2 2 12 nn n 5 2 11 2 1 2 212 nn n 5 2 11 2 1 2 nnn 当 n12 时，当 n13 时，故 nmax1212 2 12113 n 1212 T 1313 T 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知，)sin,(cos)sin,(cosba，0 （1）若，求证：；2|baba （2）设，若，求的值) 1 , 0(ccba, 解：解：（1）ab(coscos，sinsin)， |ab|2(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)2， 所以，coscossinsin0， 所以，ba （2），22得：cos() 1sinsin 0coscos 1 2 所以， 3 2 3 2 带入得：sin()sincos sinsin()1， 3 2 2 3 1 2 3 所以， 3 2 所以， 6 5 6 16 （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥中，平面平面，过作ABCS SABSBCBCAB ABAS A ，垂足为，点分别是棱的中点求证：SBAF FGE，SCSA， （1）平面平面；/EFGABC （2）SABC 证：证：（1）因为 SAAB 且 AFSB， 所以 F 为 SB 的中点 又 E，G 分别为 SA，SC 的中点， 所以，EFAB，EGAC 又 ABACA，AB面 SBC，AC面 ABC， 所以，平面平面/EFGABC （2）因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC， AF平面 ASB，AFSB 所以，AF平面 SBC 又 BC平面 SBC， 所以，AFBC 又 ABBC，AFABA， 所以，BC平面 SAB 又 SA平面 SAB， 所以，SABC 17（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系中，点，直线xOy)3 , 0(A42:xyl 设圆的半径为 ，圆心在 上C1l （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，C1 xyAC 求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐CMMOMA2C 标的取值范围a 解：解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2) 42 1 xy xy 设切线为：，3 kxy d，得：1 1 |233| 2 r k k 4 3 0kork A B C S G F E x y A l O 故所求切线为：3 4 3 0xyory （2）设点 M(x，y)，由，知：，MOMA2 2222 2)3(yxyx 化简得：，4) 1( 22 yx 即：点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D 又因为点在圆上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切MC 故：1|CD|3，其中 22 ) 32(aaCD 解之得：0a 12 5 18 （本小题满分 16 分） 如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行ACA 到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两CABBC 位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从AACmin/50mmin2 乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到假设缆车匀速直线运动的ABBmin1C 速度为，山路长为，经测量，min/130mACm1260 13 12 cosA 5 3 cosC （1）求索道的长；AB （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，C3 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：解：（1）如图作 BDCA 于点 D， 设 BD20k，则 DC25k，AD48k， AB52k，由 AC63k1260m， 知：AB52k1040m （2）设乙出发 x 分钟后到达点 M， 此时甲到达 N 点，如图所示 则：AM130 x，AN50(x2)， 由余弦定理得：MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x10000， 其中 0x8，当 x(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 （3）由（1）知：BC500m，甲到 C 用时：(min) 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小，且为：500m/min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟，则乙到 C 用时：3 (min)，在 BC 上用时： (min) 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大，且为：500m/min 56 5 625 14 C B A D M N 故乙步行的速度应控制在，范围内 1250 43 625 14 19 （本小题满分 16 分） 设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和记， n aad)0(d n Sn cn nS b n n 2 ，其中为实数 * Nnc （1）若，且成等比数列，证明：（） ；0c 421 bbb， knk SnS 2 * ,Nnk （2）若是等差数列，证明： n b0c 证：（1）若，则，0cdnaan) 1( 2 2) 1(adnn Sn 2 2) 1(adn bn 当成等比数列， 421 bbb， 41 2 2 bbb 即：，得：，又，故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0dad2 由此：，anSn 2 aknankSnk 222 )(aknSn k 222 故：（） knk SnS 2 * ,Nnk （2）， cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2) 1( cn adn c adn c adn n 2 2 2 2) 1( 2 2) 1( 2 2) 1( () cn adn c adn 2 2 2) 1( 2 2) 1( 若是等差数列，则型 n bBnAnbn 观察()式后一项，分子幂低于分母幂， 故有：，即，而0，0 2 2) 1( 2 cn adn c 0 2 2) 1( adn c 2 2) 1(adn 故0c 经检验，当时是等差数列0c n b 20 （本小题满分 16 分） 设函数，其中为实数axxxf ln)(axexg x )(a （1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a （2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论)(xg), 1()(xf 解：解：（1）0 在上恒成立，则， a x xf 1 )(), 1 ( a x 1 )1 (，x 故：1a ，axg x e)( 若 1e，则0 在上恒成立，aaxg x e)(), 1 ( 此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；axexg x )(), 1 ( 若e，则在上是单调减函数，在上是单调增函aaxexg x )()ln1 (a，)(ln，a 数，满足)ln()( min agxg 故的取值范围为：eaa （2）0 在上恒成立，则ex，axg x e)(), 1(a 故： a 1 e )0( 11 )( x x ax a x xf ()若 0 ，令0 得增区间为(0， )；a 1 e )(x f 1 a 令0 得减区间为( ，)(x f 1 a 当 x0 时，f(x)；当