立体几何之外接球问题练习(一)-菁优网

立体几何之外接球问题练习（一）一选择题（共13小题）1（2014广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D2（2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D43（2013辽宁）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD4（2012黑龙江）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）ABCD5（2011重庆）高为的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）ABCD6（2010宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2BCD5a27（2008湖南）（文）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）ABCD28（2007海南）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，则球的体积与三棱锥体积之比是（）AB2C3D49（2007安徽）半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（）Aarccos（）Barccos（）Carccos（）Darccos（）10（2006山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A1：B1：3C1：3D1：911（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为（）ABCD12（2006江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）AS1S2BS1S2CS1=S2DS1，S2的大小关系不能确定13（2004黑龙江）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）ABCD二填空题（共6小题）14（2014乌鲁木齐二模）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于 _15（2012辽宁）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为_16（2009湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为_；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为_17（2008安徽）已知A，B，C，D在同一个球面上，AB平面BCD，BCCD，若AB=6，AD=8，则B，C两点间的球面距离是_18（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是_19如图，半径为4的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_立体几何之外接球问题练习（一）参考答案与试题解析一选择题（共13小题）1（2014广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）AB16C9D考点：球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积解答：解：设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为4（）2=故选：A点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题2（2014湖南）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A1B2C3D4考点：球内接多面体；由三视图求面积、体积；球的体积和表面积菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r解答：解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则8r+6r=，r=2故选：B点评：本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题3（2013辽宁）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，则球O的半径为（）ABCD考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径解答：解：因为三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：故选C点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力4（2012黑龙江）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）ABCD考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：压轴题分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可解答：解：ABC是边长为1的正三角形，ABC的外接圆的半径点O到面ABC的距离，SC为球O的直径点S到面ABC的距离为棱锥的体积为故选A点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离5（2011重庆）高为的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）ABCD考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离解答：解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：=故选A点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力6（2010宁夏）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2BCD5a2考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积解答：解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B点评：本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力7（2008湖南）（文）长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（）ABCD2考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：先求长方体的对角线，就是球的直径，再求AB的球心角，然后求A、B间的球面距离解答：解：，设BD1AC1=O，则，故选B点评：本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题8（2007海南）已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，则球的体积与三棱锥体积之比是（）AB2C3D4考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：作图题；综合题；压轴题分析：求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可解答：解：如图，AB=2r，ACB=90，BC=，V三棱锥=，V球=，V球：V三棱锥=点评：本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题9（2007安徽）半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（）Aarccos（）Barccos（）Carccos（）Darccos（）考点：球内接多面体；弧长公式菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意求出正四面体的棱长，利用余弦定理求出AOB，然后求出A与B两点间的球面距离解答：解：半径为1的球面上的四点A，B，C，D是正四面体的顶点，所以正四面体扩展为正方体的外接球与圆柱球相同，正方体的对角线就是外接球的直径，所以正四面体的棱长为：；A与B两点间的球面距离为：1arccos（）=arccos（）故选C点评：本题是基础题，考查正四面体的外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，球面距离的求法，是常考题型10（2006山东）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）A1：B1：3C1：3D1：9考点：球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权所有专题：计算题分析：设出正方体的棱长，分别求出正方体的内切球与其外接球的半径，然后求出体积比解答：解：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，故所求的比为1：3，选C点评：本题考查正方体的内切球和外接球的体积，是基础题11（2006山东）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为（）ABCD考点：球内接多面体；球的体积和表面积菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积解答：解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题12（2006江西）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）AS1S2BS1S2CS1=S2DS1，S2的大小关系不能确定考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：比较表面积的大小，可以通过体积进行转化比较；也可以先求表面积，然后比较解答：解：连OA、OB、OC、OD，则VABEFD=VOABD+VOABE+VOBEFD+VOAFDVAEFC=VOAFC+VOAEC+VOEFC又VABEFD=VAEFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面AEF公共，故SABD+SABE+SBEFD+SADF=SAFC+SAEC+SEFC故选C点评：本题考查球的内接体的表面积问题，找出表面积的共有特征是解题简化的关键，是中档题13（2004黑龙江）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）ABCD考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题：计算题；作图题；综合题分析：先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离解答：解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，OA=OB=OC=1，且OAOBOC，AB=BC=CA=O1为ABC的中心O1A=由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=故选B点评：本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题二填空题（共6小题）14（2014乌鲁木齐二模）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于 20考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积解答：解：在ABC中AB=AC=2，BAC=120，可得，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径，故此球的表面积为4R2=20故答案为：20点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力15（2012辽宁）已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算解答：解：正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两垂直，此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，圆O的半径为，正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥PABC的体积V=SABCh=SPABPC=222=2ABC为边长为2的正三角形，SABC=h=正方体中心O到截面ABC的距离为=故答案为 点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题16（2009湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为3考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）由题意说明ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离（2）如图作出过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可解答：解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，即：OD=12（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角易得DE=4所以tanOED=3故答案为：（1）12；（2）3点评：本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现17（2008安徽）已知A，B，C，D在同一个球面上，AB平面BCD，BCCD，若AB=6，AD=8，则B，C两点间的球面距离是考点：球内接多面体菁优网版权所有专题：计算题；作图题；压轴题分析：先求BC的距离，求出BOC的值，然后求出B，C两点间的球面距离解答：解：如图，易得，则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD