最新人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的性质.ppt

人教版八年级数学上册,13.3等腰三角形（第1课时）,学习目标：1探索并证明等腰三角形的两个性质2能利用性质证明两个角相等或两条线段相等3结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用学习重点：探索并证明等腰三角形性质,活动（一）：细心观察,活动（一）：细心观察,活动（一）：细心观察,活动（一）：细心观察,共同特点,活动（一）：细心观察,等腰三角形,A,B,C,等腰三角形:,有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.,等腰三角形的概念,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,底边与腰的夹角叫做底角.,两腰所夹的角叫做顶角,腰,腰,底边,顶角,底角,回顾,1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是；2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是；3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是。,10cm,10cm或11cm,19cm,等腰三角形是轴对称图形吗？,等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。,温故知新,如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去绿色部分,再把它展开,得到的ABC有什么特点?,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,活动（二）：动手操作,上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？,A,B,C,D,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：,等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗?,AB=AC,BD=CD,AD=AD,B=C,ADB=ADC,BAD=CAD,活动（三）：细心观察大胆猜想,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,分析：1.如何证明两个角相等？,活动（四）：猜想与论证,等腰三角形的两个底角相等。,2.如何构造两个全等的三角形？,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD,AB=AC(已知),BD=CD(已作),AD=AD(公共边),BADCAD(SSS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作顶角的平分线AD，则1=2,AB=AC(已知),1=2(已作),AD=AD(公共边),BADCAD(SAS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,1,2,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,等腰三角形的两个底角相等。,D,证明：,作底边的高线AD，则BDA=CDA=90,AB=AC(已知),AD=AD(公共边),RtBADRtCAD(HL).,B=C(全等三角形的对应角相等).,方法三：作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中,用符号语言表示为：,在ABC中，AC=AB（已知）B=C（等边对等角）,等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等,（简称“等边对等角”）,归纳总结,想一想:,刚才的证明除了能得到BC你还能发现什么?,ABAC,BDCD,ADAD,BC.,BADCAD,ADBADC,=90,等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互为重合.,猜想,（1）如图，ADBC，ABAC.求证：BDCD，12.,（2）如图，BDCD，ABAC.求证：ADBC，12.,（3）如图，12，ABAC.求证：ADBC，BDCD.,大胆猜想,（1）如图，ADBC，ABAC.求证：BDCD，12.,证明：在RtABD和RtACD中,RtABDRtACD（HL）,BDCD，12,（2）如图，BDCD，ABAC.求证：ADBC，12.,证明：在ABD和ACD中,ABDACD（SSS）,ADBADC，12,又ADBADC180,ADBADC90即ADBC,（3）如图，12，ABAC.求证：ADBC，BDCD.,证明：在ABD和ACD中,ABDACD（SAS）,ADBADC，BDCD,又ADBADC180,ADBADC90即ADBC,(简写成三线合一),性质2等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合,性质3等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。,归纳总结,1、等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。,应用格式：ABAC12（已知）BDDCADBC（等腰三角形三线合一）,2、等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。,应用格式：ABACBDDC（已知）ADBC12（等腰三角形三线合一）,3、等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。,应用格式：ABACADBC（已知）BDDC12（等腰三角形三线合一）,性质2可分解成下面三个方面来理解：,归纳总结,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？,不重合！,“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高,1.根据等腰三角形性质2填空,在ABC中，AB=AC，,(1)ADBC，_=_，_=_.,(2)AD是中线，_，_=_.,(3)AD是角平分线，_，_=_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,知一线得二线“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。,2、等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,3、等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_.,4、等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_.,顶角度数+2底角度数=180,0顶角度数180,0底角度数90,结论:在等腰三角形中,40,35，35,70,40或55,55,例1、如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,1、图中有哪几个等腰三角形？,A,B,C,D,ABCABDBDC,2、有哪些相等的角？,ABC=ACB=BDCA=ABD,3、这两组相等的角之间还有什么关系？,BDC=2AABC+ACB+A=180,应用新知,已知：如图，房屋的顶角BAC=100,过屋顶A的立柱ADBC,屋椽AB=AC.求顶架上B、C、BAD、CAD的度数.,应用新知，体验成功。,(1)猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图将等腰三角形ABC沿对称轴折叠，观察DE与DF的关系，并证明你的结论。,A,B,C,D,E,F,(2)如果DE、DF分别是AB,AC上的中线或ADB,ADC的平分线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段？,已知：在ABC中，AB=AC.点D是BC的中点，DEAB于E,DFAC于F求证：DEDF,活动（五）：拓展提高,1、等腰三角形的顶角一定是锐角。2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以。3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角,（X）,（X）,（）,（X）,（）,明辨是非,例1、如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数。,x,x,2x,2x,2x,解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD(等边对等角)设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72,如图，在ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，B=30。求和ADC的度数,AB=AC，D是BC边上的中点,ADC90。,BAC=180。-30。-30。=120。,（三线合一）,课堂练习：,谈谈你的收获！,再见,你的细心加你的耐心等于成功！,如图：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BD,证明1：AB=AC，AD是高，BC=2BD,又BE是高，ADC=BEC=AEH=90,在AEH和BEC中,AEHBEC(ASA),1+C=2+C=901=2,AH=BC,即AH=2BD,课后思考,你的细心加你的耐心等于成功！,如图：ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。求证：AH=2BD,证明2：AB=AC，AD是高，BC=2BD,又BE是高，ADB=B