2026年高考数学一轮复习：复数（讲义）原卷版

专题5.4复数（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型I复数的概念】.................................................................................6

【题型2共规复数】...................................................................................6

【题型3复数的几何意义】............................................................................7

【题型4复数的四则运算】............................................................................7

【题型5复数的相等】.................................................................................7

【题型6复数的模】...................................................................................8

【题型7与复数模相关的轨迹（图形）问题】..........................................................8

【题型8亚数范围内解方程的根】......................................................................9

【题型9复数的三角表示】............................................................................9

1、复数

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第2题，5分

2023年新高考H卷：第1题，5分复数是高考的热点内容，是每年

⑴通过方程的解，认识复数2024年新高考I卷：第2题，5分高考的必考内容之一.从近几年的高考

（2）理解复数的代数表示及2024年新高考H卷：第1题，5分情况来看，高考对复数的考查比较稳

其几何意义，理解两个复数2024年全国甲卷（文数）：第1题，定，往往以单选题、填空题的形式考

相等的含义5分、（理数）：第1题，5分查，考查内容、难度变化不大，主要

（3）掌握复数的四则运算，了2025年全国一卷：第1题，5分考查复数的概念、复数的模、复数的

解复数加、减运算的几何意2025年全国二卷：第2题，5分运算及其几何意义，属于简单题.预测

义2025年北京卷：第2题，4分明年高考复数依旧以单选题、填空题

2025年天津卷：第10题，5分形式呈现，比较简单.

2025年上海卷：第10题，5分

知识梳理

知识点1复数的概念

1.复数的概念

（1）复数的概念

我们把形如。+砥”^R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={〃+bi|db£R}叫做复

数集.这样，方程PH=O在复数集C中就有解尸i了.

(2)复数的表示

复数通常用字母z表示，即z=a+历(a,b£R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有。力仁R,其中的。与b

分别叫做复数z的实部与虚部.

(3)复数的分类

对于复数。+加，当且仅当8=0时，它是实数；当且仅当4=8=0时，它是实数0；当原0时，它叫做虚数；

当片0且厚0时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R生C.

实数(6=0)

复数可以分类如下：复数〈

虚数(方丰0)(当a=0时为纯虚数).

2.复数相等

在复数集C={a+力i|a,/?£R}中任取两个数“+力i,c+di(a,b,c,d^R),我们规定：“+从与c、+di相等当且仅当”=c

且即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相笠.

知识点2复数的几何意义

1.复数的几何意义

(1)复平面

----对应一一对应

根据复数相等的定义，可得好数2=。+加^-------＞有序实数对36)，而有序实数对(“0^------------＞平面直角

坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.

如图所示，点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数z=〃+从可用点Z(d")表示，这个建立了直角坐标系来表示

复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(虚轴)

rZ:a+6i

除原点外，虚

轴上的点都U

表示纯虚数

(实轴)

实轴上的点都袅示实数

(2)复数的几何意义——与点对应

由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一

一一对应

个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi＜-----------＞复平面内的点

Z(a、b),这是复数的一种几何意义.

(3)复数的几何意义——与向量对应

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数本来表示，而有序实数对与复数是一一对应

的.这样就可以用平面向量来表示复数.

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量OZ由点Z唯一确定：反过来，点Z(相

对于原点来说)也可以由向量OZ唯一确定.

因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数

---对应T

z=a+bi<------->平面向量OZ,这是复数的另一种几何意义

向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|。+切.如果b=0,那么z=a+b'\是一个实数它的模

等于同(就是〃的绝对值).由模的定义可知，|z|=|o+/〉i|=尸+月&20,£R).

3.共挽复数

⑴定义

一般地，当两个好数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个好数叫做互为共甄史数.虚部不等于0的两

个共桅复数也复数z的共枕复数用三表示，即若广a+bi,则』=。・让特别地，实数。的共辗复数仍是。本身.

(2)几何意义

互为共枕复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共扰复数在复平面

内所对应的点重合，且在实轴上.

y\z-a+bi

b-------------r

(3)性质

①目=Z.

②实数的共枕复数是它本身，即2=W—Z£R,利用这个性质可证明一个复数为实数.

4.复数的模的几何意义

⑴复数z=a+bi(a,b£R)的模|z|就是复数在复平面内对应的点Z(a⑼到坐标原点的距离，这是复数的模

的几何意义.

(2)复数z在复平面内对应的点为Z,〃表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以原点

为圆心，/•为半径的圆，匕|<〃表示圆的内部，匕卜厂表示圆的外部.

知识点3复数的运算

1.复数的四则运算

(1)复数的加法法则

设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R)是任意两个复数,那么zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(加砌i.

(2)复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+M)=〃+〃i的爱数

x+yi(x,y^R)叫做复数a+bi(a,bGR)减去复数e+di(c,d£R)的差，记作(a+〃i)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=a,d+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+S/)i,即(a+历)-(c+di)

=(4Y)+SMi.这就是复数的减法法则.

⑶复数的塞法法则

设z\=a+b'\,Z2=c+di(a,b,c,d£R)是任意两个复数，那么它们的^(a^b\)(c+d\)=ac+bc\+adi^bd\2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-I,并且把实部与虚部分

别合并即可.

(4)复数的除法法则

(〃+Z?i)(c—di)_(ac+bd)十(be-4d)i_ac+bdbe—ad.

(a+bi)+(c+di)=2,^2Ua,b,c,d^R,

:誉=(c+di)(c—di)c2+d2c2+d~cd

且c+dW).

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是•个确定的赛数.

2.复数加法、减法的几何意义

⑴复数加法的几何意义

在复平面内，设zi=a+〃i,Z2=c+〃i(。也R)对应的向量分别为OZi,OZ2,则。乙=(“力)，OZ?%,").以OZ1，

应对应的线段为邻边作平行四边形OZ1ZZ2(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得

OZ=OZt+衣=(a,6)+(cd)=(a+cm+"),即z=(a+c)+(b+d)i,即对角线OZ对应的向量就是与复数(q+c)+S+")i

对应的向量.

(2)复数减法的几何意义

两个复数zi+bi,Z2=c+di(a力,c,d£R)在复平面内对应的向量分别是该，OZ2,那么这两个复数的差Z2

对应的向量是酝一赤，即向量方.

如果作3=石Z,那么点Z对应的复数就是ZrZ2(如图所示).

这说明两个向量次与衣的差ZN就是与复数S-c)+3-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的

减法来进行，这是复数减法的几何意义.

3.复数运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①(l+i)2=2i—备=l+i；

(2)(1—i)2=-2i2]=1—jJi=-1+i；

1—11—1

③(1+i)(1—i)=2T—r=1-i--r=1+i；

I-r1I—1

⑤i"+l=i,i4w+2=-l,i4-3=-i,i4"=](〃£Z).

(2)常用公式

(。+bi)(。一〃i)=a?+〃；

(a土方i)2=々2+房±2abi；

(a^bi)3=a3-3ab2±(3a?—/)i.

知识点4复数有关问题的解题策略

1.复数的概念的有关问题的解题策略

(1)复数z=a+/)i(。力WR),其中。，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0,与实部。无关；若z

为虚数，则虚部力#0,与实部。无关；若z为纯虚数，当且仅当。=0且8K0.

(2)复数z=a+历(a,b£R)的模记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+Z>i|=y/a2+b2.

与复数手。+砥。力£对的共扼复数为2=。一万，则z•z=|z|2='「，即|Z|=|N|=Jz.z,若zwR,则

z=z.

2.复数的运算的解题策略

(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算：

(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.

3.复数的几何意义的解题策略

由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解

析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.

4.复数的方程的解题策略

(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.

(2)对复系数(至少有•个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.

【方法技巧与总结】

1.（1±i）2=±2i；1^4=i；

444rt+24+3

2.i"=i,i«+«=i>i=-l,i*=-i（MeN*）.

3.i4"+『“+i+i4H+2+i4H+3=0（HeN*）.

4.复数z的方程在复平面上表示的图形

（l）aW团Wb表示以原点O为圆心，以。和〃为半径的两圆所夹的圆环:

（2）|z-（a+〃i）E（'>0）表示以（〃力）为圆心，r为半径的圆.

举一反三

【题型1复数的概念】

【例1】（2025•全国一卷•高考真题）（l+5i）i的虚部为（）

A.-1B.0C.1D.6

【变式1・1】（2025・吉林・模拟预测）已知复数2=7712-1+（771+1万为纯虚数，则实数瓶的值为（）

A.-1B.1C.-1或1D.2

【变式1-2]（2025・贵州遵义・模拟预测）复数z=2—i的虚部是（）

A.iB.1C.-1D.-i

【变式1-3]（2025•云南曲靖•二模）已知复数z=（a+2）+（a2—Q—6）i（a£R）,若z>0,则实数a的值为

（）

A.1B.2C.3D.6

【题型2共铜复数】

【例2】（2025•广东惠州•模拟预测）已知复数z满足i-z=3+i（其中i为虚数单位），则5=（）

A.1-3iB.l+3iC.3-iD.3+i

o.：2025

【变式2-1】（2025•甘肃白银•二模）复数z=三丁的共枕复数为（）

17.〃57.「5,7.

AA-B-卢丁C-一厂丁D-/丁

【变式2-2]（2025•山东泰安・模拟预测）复数z满足（3-夜i）z=ll,i为虚数单位，则复数5的虚部为（）

A.V2iB.V2C.-V2iD.-V2

【变式2-3]（2025・湖南岳阳•三模）若复数z满足三=l+i,则在复平面内，2对应的点位于（）

2—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【题型3复数的几何意义】

【例3】（2025•天津河北•模拟预测）i是虚数单位，复数4+3i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式3・1】（2025•云南•模拟预测）在复平面内，复数zi=-l+i与复数Z2对应的点关于实轴对称，则怙2|=

（）

A.1B.<2C.V3D.2

【变式3・2】（2025•宁夏陕西•模拟预测）“a<0”是“复数2+（2-a）i在复平面内对应的点在第一象限”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式3-3]（2025•湖南长沙•二模）在复平面内，O为坐标原点，复数1-3-l+2i对应的向量分别是丽,

丽，则而对应的复数为（）

A.-2+3iB.iC.2-3iD.-i

【题型4复数的四则运算】

【例4】（2025•江苏连云港•模拟预测）已知Zi=l+2i,z2=3-4i,若，:+擀，=（）

A.4-3iB.2-|iC.2+：iD.4+3i

【变式4-1]（2025•全国二卷•高考真题）已知z=l+i,则」7二（）

Z1

A.-iB.iC.-1D.1

【变式4-2]（2025・河南信阳•模拟预测）已知复数2=上工，则z-2=（）

1

A.-2iB.2C.0D.2i

【变式4-3】（2025•宁夏银川•三模）已知复数2=三）为虚数单位，则下列说法正确的是（）

-IT!

A.\z\=2

B.z的虚部为一i

C.Z对•应的点位于复平面的第三象限

D.z-z=2

【题型5复数的相等】

【例5】（2025•云南红河•三模）若l-2i=a+bi（i为虚数单位），其中a,b为实数，贝必+用J值为（）

A.1B.3C.-1D.-3

【变式5-1]（2025・山东•模拟预测）若复数z满足2（z+2）+2i=4+z-Z,则z=（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

【变式5-2]（2025•辽宁辽阳•一模）已知（l-2i）a+（3+4i）b=2+6i,其中a,b为实数，则（）

A.a=l,b=-1B.a=-1,6=1

C.a=-1,h=-1D.a=l,b=1

2

【变式5-3]（2025•安徽六安•模拟预测）已知复数zi=m+（4-?n）i（zn€R）,z2=2cos6>+Q+3sin0）i（A,0e

R）,并且Zi=Z2，则/l的取值范围是（）

A-卜意+8）[一总7]c.（一8,7）D.卜表7]

【题型6复数的模】

【例6】（2025•山东•模拟预测）已知z为复数，z-2为纯虚数,z+i为实数，则|z|二（）

A.2B.V5C.2V2D.3

【变式6-1]（2025・湖北宜昌•二模）设复数z满足（3+4i）z=5i,则|z|=（）

A•表B.1C.1D.5

【变式6-2]（2025•青海西宁•二模）若。与b均为实数，且b—3i=4+ai,则|a+bi|=（）

A.3B.4C.5D.7

【变式6-3]（2025•广西柳州•三模）在复平面内，复数z对应的向量被=（1,2）,则|z-3|=（）

A.2V2B.V5C.V3D.V2

【题型7与复数模相关的轨迹（图形）问题】

【例7】（2025•山东•模拟预测）若复数z满足|z-4+3i|=2,则|z|的最小值为（）

A.2B.3C.6D.7

【变式7-1]（2025•黑龙江大庆•模拟预测）设z€C,在复平面内对应的点为Z,则满足14|z-1|工2的点

Z的集合形成的图形的面积为（）

A.ITB.2ITC.31rD.4ir

【变式7-2]（2025•新疆乌鲁木齐三模）已知复数z满足|z-l|=2,则|z|的取值范围是（）

A.（0,1]B.（0,3]C.（1,3）D.[1,3]

【变式7・3】（2025・辽宁•模拟预测）已知复数z1,Z2分别满足㈤=1,|iz2+3+4i|=2,则Z―2I的最大

值为（）

A.5B.6C.7D.8

【题型8复数范围内解方程的根】

【例8】（2025•山东青岛•三模）若l+2i是关于％的实系数方程/+bx+c=O的一个复数根，则b,c的值

分别为（）

A.b=-2,c=5B.匕=2,c=5

C.b=_2,c=-5D.b=2,c=-5

【变式8-1】（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知1-i是关于％的实系数方程%2+THX+n=0的一个根（i为

虚数单位），则几=（）

A.3B.2C.-2D.-3

【变式8・2】（2025•山东济宁•二模）已知1—2i是关于％的方程必+ax+b=0（a,beR）的一个根，则5+bi\=

（）

A.2B.3C.5D.V29

【变式8-3]（2025・江西・二模）已知2—2i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程d+旅+c=0的一个

根，则（）

A.b=4,c=8B.b=4,c=-8

C.b=-4,c=8D.b=—4,c=-8

【题型9复数的三角表示】

【例9】（2024•河南信阳•模拟预测）在复平面内，把复数3-百i对应的向量N按顺时针方向旋转会所得向

量在N上的投影向量对应复数是（）

A.2V3-3iB.3-2V3iC.毛D.学

22

【变式9-1]（2024•浙江绍兴•模拟预测）己知2=cos。+isin。，则在下列表达式中表示sin。的是（）

济3访Deie+e-沿

2i2i

e-Ji。eig+e-ig

*-2i_*2i-

【变式9-2]（2025•内蒙古赤峰•一模）棣莫弗公式（cosx+i-sinx）"=cos（nx）+i•sin（nx）（其中i为虚数单

位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（8$名+〉$访以2在复平面内

所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式9-3]（2024•陕西商洛•模拟预测）法国数学家棣莫加（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复

数Z]=ri（cos&+isin3）,z2=r2（cos02+isin02）（^i^2>0），则Ziz?=r1r2[cos（01+%）+isin（a+02）]-

设Z=W-争,则z2024的虚部为()

A.—B.C.1D.0

过关测试

一、单选题

1.（2025•湖北武汉•模拟预测）若复数z=3+i—2i3,则|z|=（）

A.V5B.V6C.V10D.3V2

2.（2025•河北邢台•三模）若Q+i=b+2-Qi（Q/6R）,则a+b=（）

A.2B.4C.-4D.-2

3.（2025河北秦皇岛模拟预测）己知复数z满足|z-3-4i|=5（i为虚数单位），则复数z在复平面上不

可能位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2025•江苏泰州•模拟预测）若2=竽，其中i是虚数单位，则复数z的共规复数刘勺模为（）

4-1

A.V5B.2C.2V5D.4

5.（2025・全国•二模）已知复数z满足z（l+i）=2-3i,则z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.（2025・海南•模拟预测）已知复数z=cosj+singi（i为虚数单位），则z?等于（）

66

A.1B.-1C.iD.-i

7.（2025•广东佛山•三模）复平面上48两点对应的复数分别是l+3i,-2+i,向量前对应的复数为z,

则|z|=（）

A.17B.V17C.13D.V13

8.（2025•北京海淀•三模）在复平面内，复数，乙-i2025对应的点位于（）

i+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多选题

9.（2025•江苏南通•模拟预测）设Zi，Z2为复数，则（）

A.|zi-z2l=。|•㈤B.|zi+z2\=0|+\z2\

c.\zr-z2\=|zi+z