安大略湖污染问题

安大略湖和伊利湖的污染问题摘要本文利用数学建模的方法，分析了安大略湖和伊利湖的湖水污染问题，运用了差分方程、等级结构理论和马氏链模型定量分析了两个湖泊系统的污染物流入流出的过程。首先，通过对安大略湖的相关因素分析，适当的做出了相关假设，安大略湖的换水和污染物进入过程看成一个时间离散的过程，引入了差分方程的方式，构建了一个湖泊污染物总量随时间变化的模型，最终得到了，安大略湖的污染总额是随着时间的推移衰减的，并在相对长的时间上是维持在一个相对稳定的水平。接着，在考量安大略湖污染物衰减的过程中，通过对湖水的流入与流出的分开分析，引入换水系数和水质因子相关概念，分析得到了安大略湖湖水污染物下降到10%以下大概需要34年的时间。其次，在描述安大略湖与伊利湖的长期情况时，利用马氏链模型与等级结构的相关理论，考虑到了相关政策对湖水水质的要求，查阅了相关的资料，假设了相关的污染物含量标准，并得到了需达到这个状态的两个湖泊系统的长期行为。最后，基于对问题的分析与认识，提出了对模型的进一步改进的方面，讨论了模型的有点与不足。以期能全面分析问题的本质，同时也针相关的问题给出了一些建议。1. 问题复述Background Information:Most of the water flowing into Lake Ontario is from Lake Erie. Suppose that pollution of the lakes ceased, except for pollution from an aluminum factory on Lake Ontario. How long would it take for the pollution level in each lake to be reduced to 10 percent of its present level?First, to simplify matters, lets assume that 100 percent of the water in Lake Ontario comes from Lake Erie. Let a(n) and b(n) be the total amount of pollution in Lake Erie and Lake Ontario, respectively, after n years. Since pollution has stopped, the concentration of pollution in the water coming into Lake Erie is c = 0. It has also been determined that, each year, the percentage of water replaced in Lakes Erie and Ontario is approximately 38 and 13 percent, respectively. Additionally, suppose that an aluminum factory on Lake Ontario directly dumps 25 units of pollutant into the lake each year. Initially, there are 2500 units of pollutant in Lake Ontario, and 3150 units of pollution in the lake after 1 year.Problem:1. Build a model to estimate the total amount of current pollution in Lake Ontario. 2. Find the particular solution and determine how long it would take for the pollution level in Lake Ontario to be reduced to 10 percent of its present level. 3. Describe the long term behavior of this system. 2. 问题分析 染物变化的分析，在化学与热动力学上，湖泊污染物的分布是一个相当复杂的问题。于数学建模的定性与定量分析的需要，湖泊中污染物的分布是均匀这个假设很重要，这是后面问题分析的出发点。 问题一要求根据已有的背景资料，求出安大略湖的污染物总量。很明显，湖是一个动态变化的湖泊系统，污染物又从伊利湖中流入，也有自身的流出，所以，该湖泊的污染量总额应该是一个变化的数值，且随着时间的推移发生变化。 问题二要求求出安大略湖污染物下降到10%以下所需的时间，根据对问题的分析可以知道污染物是程一个衰减的态势。安大略湖的污染物既有流出也有流入，在假设湖水总量不变的情况下，可以将流入与流出看成两个过程，分开描述污染物的变化状况。 问题三要求描述安大略湖与伊利湖的长期行为，由于安大略湖与伊利湖的污染物既有流入又有流出，且总体上程衰减的态势。安大略湖与伊利湖两个系统可以看成是一个二维的等级结构，利用马氏链模型与等级结构的相关理论，通过查找相关资料，定义一个可变的污染物含量标准，构造一个稳定控制状态，可以描述这两个湖泊系统在一定的污染物要求下的长期行为。3. 模型准备3.1安大略湖与伊利湖的相关地理资料安大略湖是北美洲五大湖之一。在美国和加拿大之间。略呈东西延伸，东西长约311千米，南北最宽85千米。面积1.95万平方千米，在五大湖中最小。湖面海拔75米，比伊利湖低99米。平均水深85米，最大深度236米。蓄水量1688立方千米。湖岸线长1380千米，岸线较平直，仅东北端较曲折。伊利湖是北美洲五大湖之一。为美国和加拿大共有，东、西、南面为美国，北面为加拿大。呈西西南-东东北向。东西长388千米，最宽92千米。面积2.57万平方千米，在五大湖中居第四位，仅大于安大略湖。湖面海拔174米，比安大略湖高99米。平均水深18米，最大深度64米，在五大湖中最浅。蓄水量455立方千米。湖岸线总长1200千米，较平直，少湖湾。湖中有岛屿，集中在湖的西端，以加拿大的皮利岛为最大。3.2马氏链模型马氏链描述的是系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移的概率，与以前各时期的状态无关。马氏链及其基本方程 按照系统的发展，时间离散化为n=0,1,2,对每个n,系统的状态用随机变量表示，设可以取k个离散值=1，2，3，k,且记，即状态概率。从到的概率记为：，称为转移概率。由状态转移的无后效性和全概率公式可以得到基本方程为：并且和应满足以下 n=0,1,2, I,j=1,2,3,k i=1,2,k引入状态概率向量和转移概率矩阵3.2等级结构理论等级结构理论描述的是等级结构的演变过程，预测未来的结构，确定为达到某个理想结构应采取的策略。成员按等级的分布向量 成员按等级比例分布转移矩阵退出比例向量调入比例向量等级结构的基本方程当系统每年以固定的比例增长时，上式转化为若假定系统的总量保持不变上式可化为：4. 模型符号与假设4.1模型的符号说明n年后伊利湖的污染情况n年后安大略湖的污染情况V安大略湖的湖水体积湖水的换水系数T湖水更换的周期K综合降解系数4.2模型的基本假设（1）全部安大略湖的湖水来自于伊利湖（2）流入伊利湖的湖水未受过任何污染（3）两个湖泊的湖水总量保持不变，且更新速度是一致的（4）污染物的浓度很小，可以忽略湖水的密度影响（5）污染物可以瞬间在湖泊中均匀分布5. 模型的建立与求解5.1安大略湖污染总额模型（问题一）假定安大略湖百分之百的水发源于伊利湖。a(n)和b(n)分别代表n年之后伊利湖和安大略湖的污染物比例。因为污染已经停止，所以进入伊利湖的污染含量是c = 0。每一年,伊利湖和安大略湖的换水的比例大约分别是38%和13%。此外,处于问题的简单化，假设每年安大略湖旁只有一个铝厂直接将二十五个单位的污染物排入湖中。开始时,安大略湖含有2500单位污染物，一年后达到3510单位。首先将安大略湖的污染总量定义为一个可以数值计量的标量，污染物在安大略湖的分布是均匀的，新排入的污染物也能迅速地在湖中均匀的扩散开。所以用差分方程构造一个安大略湖污染总额的模型为：在这个模型中，出于对问题的简单化处理，将安大略湖的换水和污染物进入过程看成一个时间离散的过程，即每一年安大略湖一次性完成换水，并且湖水的体积保持不变，通过这样与的推到关系为：所以，的通解为：又由于初始条件、所以可以得出安大略湖污染总额的年份变化为由此，可以通过通解求出安大略湖任意具体的年份求出安大略湖污染物总量，相关的变化见图1图中现实，安大略湖的污染物总量经过了一个先增长再衰减的过程，在较长的时间刻度上，污染物的总量会维持在一个较为稳定的数值上。5.2安大略湖污染程度下降模型（问题二）在考量安大略湖污染物浓度时，假设安大略湖的湖水都是由伊利湖流入，并且安大略湖的湖体容积不变，容积为V，安大略湖中污染物的初始平均浓度为C0, 由于安大略湖是一个贯通的湖泊，因此流入的湖水体积与流出的水体体积大致上保持不变。在此，我们将安大略湖湖水的流入与流出过程，看成一个以年份为标志的离散过程。每个年份开始一次湖水流入流出的过程是先排水, 紧接着引水, 排水量与引水量相等,湖泊水位不变。由于，伊利湖水流入安大略湖是一个持续的过程，湖水中污染物的浓度持续下降，为简化分析，可以假设由伊利湖流入的湖水中污染物的平均浓度为, 记引排周期为T, 单位时间内周边环境输入的该种污染物负荷为 , 一个周期中周边环境排入该水体的该种污染物的负荷总量为, ( ) , 设每次流入或流出的水体体积为, 其中定义为换水系数假定引排换水所需的时间很短与T 相比可忽略不计, 水体混掺均匀, 水体中污染物服从一阶或零阶降解, 综合降解系数为K 。在上述条件和假设下, 在上一次引水完成后至下一次排水开始前, 水体中该种污染物的平均浓度可用下式描述:即：在该式子中C1 为某一引排周期初始时刻的平均浓度。其最后时刻的平均浓度为:由均匀混掺假设, 可知在第1 次排水和引水以后, 水体中该种污染物的平均浓度为:以此作为下一时段的初始浓度, 利用( 3) 式可以推出在第2 次排水开始时水体中该种污染物的平均浓度。一般地我们可以推出第n 次排水和引水后, 水体中该种污染物的平均浓度为:在第n+ 1 次排水前任意时刻t 该种污染物的平均浓度为:在第n+ 1 次排水开始时该种污染物的平均浓度为:取第n 次引水和n+ 1 次排水时间间隔内水体的平均浓度为: 对无降解的情况( K = 0) 有：上述式中 包含了安大略湖湖水流入与流出周期T 的影响。式中是平均的水质改善因子。上面可见, 水体中的污染物平均浓度由3 部分组成( 分别为方程右端的第一、二、三项) , 即原来水体中残留的污染物、引入水中的污染物和周边环境排入的污染物。显然, 周边环境排入的污染物愈多, 污染负荷系数越大, 引入水质愈差, 愈大, 使水体中平均浓度愈高, 水质改善因子愈小。由于安大略湖的污染物下降到10%以下，则=250，又=2500，题目中已给出=68%，利用MATLAB可以计算得到，污染物含量衰减到10%是大概n=34,即34年后安大略湖的污染下降到10%以下。污染负荷应尽可能予以削减, 否则为达到预定的水质目标不得不增加湖水流入量, 即增大换水系数。从上述表达式可见, 水体中污染物平均浓度 与换水系数1- 直接相关。事实上, 若, , 保持常数, 当n时, 浓度C( n) 和水质改善因子亦将趋近于常数。这意味着当周边污染负荷和引入水的水质相对稳定, 继续同样的湖水流出流入, 湖内水质将趋于稳定状态。5.3安大略湖系统长期模型（问题三）为了描述伊利湖与安大略湖这个系统的长期情况.考虑到湖水污染治理的主要目的是为了使其污染总量降低到人们可容忍的范围以内.于是将问题的重点放在研究如何控制每年向伊利湖与安大略湖排放的污染量,使两个湖的湖水污染总量能在未来相当长的时间里降低到人们可容忍的范围以内.下面先定义若干基本量, 建立基本方程, 然后讨论如何控制每年向各湖排放的污染量,保持两湖的污染量稳定在人们可容忍的范围内.基本量与基本方程:设一个系统由湖组成,时间以年为单位离散化,即考虑每年向各湖排放的污染量.湖记作,时间记作引入以下的定义和记号:污染量按湖的分布向量,其中为第年湖的污染量,于是有.转移矩阵,其中为每年从湖扩散到湖的污染量比例.污染量排放向量,其中为每年向湖排放的污染量.为了导出污染量按湖的分布向量的变化规律,先写出各个湖污染量的转移方程用向量,矩阵符号可将其表示为经递推可得以上是为模型所作的准备,下面我们利用马氏链模型对问题三进行研究在本题所提到的系统中,我们只考虑伊利湖与安大略湖的情况.为了描述的方便,我们将以下标1表示伊利湖,下标2表示安大略湖.伊利湖与安大略湖间的污染量转移矩阵为其中,0.38表示每年由伊利湖转移到安大略湖的污染量的比例.由第一题中的模型我们可以得到,两个湖初始污染量为,而人们对安大略湖水可容忍的污染量我们不妨视为原污染量的10%,即为250。