常微分方程教材

第九章微分方程一、教学目标和基本要求(1)理解微分方程及其解、一般解、初始条件和特殊解的概念。(2)掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解，可以求解齐次方程。(3)以下方程将通过降阶方法求解：(4)了解二阶线性微分方程解的性质和解的结构定理。(5)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解，会解一些常系数高于二阶的齐次线性微分方程。(6)自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特殊解和一般解。(7)一些简单的应用问题将通过微分方程来解决。二、本章教学内容的重点和难点1.理解并熟悉微分方程的一些基本概念；2.掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分方法；3、熟悉线性方程的基本理论，掌握二阶线性齐次和非齐次方程的常系数解法；4.微分方程及其初值问题将被列出来解决实际问题。第三，深化和拓宽本章的教学内容：1.分离变量方法的理论基础；2、常用变量代换；3.如何列出求解微分方程的应用问题；4.黎卡提方程；5.完全微分方程的推广；6.二阶齐次方程；7.高阶微分方程的补充；8.求线性齐次方程的另一个线性无关解；9.寻找线性非齐次方程的特殊解；10.常数变分法。本章的思考问题和练习解下列方程(问题1-6)1、2.可微的3、4、5、6、7.已知的可微函数满足：8.已知的；9.找到与曲线族相交并形成一个角度的曲线；10.一个容器的容积为100升，里面装满了盐水和10公斤盐。现在，淡水以每分钟3L的速度注入容器，冲洗稀释的盐水。以同样的速度，盐水被泵入另一个同样大小的容器中，容器中最初装满了淡水。多余的水从容器中流出。两个容器装相同量的盐需要多长时间？9.1微分方程的基本概念一、主要内容：首先，通过实例介绍了微分方程的几种模型，并介绍了微分方程的一系列概念。常微分方程：常微分方程的阶、解、通解、全解、特解和积分曲线族的定义；二、教学要求和注意事项了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解和积分曲线说明1:具有初始条件的微分方程和初值问题的解是对实际问题的两种等价描述。前者强调运动的过程，是系统的机制。后者强调运动的结果和系统的输出。说明2:可分离变量的微分方程虽然简单，但它是求解各种微分方程的基础，需要学生熟练掌握。定义1:含有导数或微分的方程称为微分方程，方程的最高导数的阶称为方程的阶。例如，二阶方程；一阶方程；三阶方程等当我们谈论方程时，我们都想理解它们。前两个方程不容易解，第三个方程容易解。方程的解是通过将方程的两边积分三次而得到的。当时，等式也满足了。看得见的包括所有形式的解决方案。这被称为一般解决方案。定义2:满足微分方程的函数称为方程的解。如果方程的解包含独立的任意常数，并且常数的个数正好等于方程的阶数，那么这个解被称为广义s然后我将谈论具体的类型和解决办法可分离变量方程和可分离变量的方法。重点是阶的概念，微分方程的一般解和特殊解，以及分离变量的方法。难点是用微分方程建立数学模型。关键是区分可分变量方程的方法和具体的积分方法。二、教学要求和注意事项掌握可分离变量微分方程的解。注意：通常只表示一个基元函数，积分常数C有时被写成定义1:可以改写成形式的一阶方程是一个可分离的变量方程。注意：不是所有的方程都可以这样，所以可分离变量方程是一阶线性方程的特例。定理1:如果，那么一般的解是证明：(1)证明是方程的解。双方在寻求指导时是对立的，从而获得因此，它是方程的解。(2)如果它是方程的任何解，那么积分的两边，得到另一个原始函数，另一个原始函数然后，在所以，对于一般的解决方案。注1:可分离变量方程的解：先分离变量，然后两边积分得到通解。注2:用于确定一般解中任何常数的条件称为方程的初始条件。例1找到的一般解，并找到满足初始条件的特殊解。解：方程可以变成，两边积分，得到这是这个方程的一般解。再次，替代，得到满足初始条件的特殊解是这个问题的一般解决方法。解决方法：通过，分离变量，获得，两边积分，获得是方程的隐式通解。第二，方程可以简化为齐次方程变换后，该方程转化为齐次方程。例3得到了一般解。解决方案：那就点菜吧订单即等式变成：所以代入，得到，积分，获取，逐代返回，获取一般的解决方法是：(哪里是常数)9.3齐次方程内容要点：齐次方程的定义和求解公式可以转化为齐次方程的定义和求解。本单元的教学大纲齐次方程的判别和求解并不难。很难找到相应的变量替换。变量替换方法相对灵活。它可以给出更多各种类型的例子，让学生可以看到更多的变量替代，让学生可以积极思考，积累经验。重点是齐次方程和变量代换方法。困难在于找到变量替换。作业：同步练习训练一、齐次方程定义1:一个可以改写成形式的微分方程叫做一阶齐次方程。让我们来看看齐次方程的解：让，也就是说，代入方程，得到，分离变量，获取这两个方面是综合，解决，然后取代，以获得一般的解决方案。示例1一般解决方案。解：原始方程可以简化为，即代入方程得到简单化得到的积分将被替换，一般的解是第二，方程可以简化为齐次方程经过变换后，方程转化为齐次方程。例4得到了一般解。解决方案：那就点菜吧订单即等式变成：所以代入，得到，积分，获取，逐代返回，获取一般的解决方法是：(哪里是常数)9.4一阶线性微分方程一、主要内容：一阶线性微分方程的形式和求解公式，伯努利方程的形式和求解本单元的教学大纲(1)在讨论线性非齐次一阶方程的解时，应解释变量常数的概念并加强实践，这对今后二阶线性方程和线性方程的常数变分法是有益的。(2)在导出线性非齐次一阶方程的通解公式后，可以成功地导出满足条件的特殊解公式。还应该指出两点：第一，在那个时候，线性方程的解总是可以通过两次积分得到；其次，揭示了一般解的结构。重点是定义1:(1)的方程是一阶线性方程。如果是这样，那么(1)被称为一阶线性齐次方程；(1)该公式称为一阶线性非齐次方程。让我们来看看方程(1)的解：首先，看看二次方程：(2)它显然是一个可分离的变量方程。所以，双侧积分，所以(3)是一阶线性齐次方程(2)的通解。接下来，让我们找到(1)的解。通过方程(1)和(2)形式的相似性，它们的解也有一些相似性。我们用常数变分法求(1)的解：假设非齐次方程(1)的解，并代入方程，我们可以得到然后，积分，获取那么(4)是方程(1)的通解。示例1一般解决方案。解：因为它是一个一阶线性非齐次方程，并被代入(4)，它的通解是=示例2解决方案的一般解决方案。解答：如果把这个方程看作一个函数和变量，它就不是一阶线性方程。因此，它将被视为一种功能。作为变量，原始方程将被转换为：它进一步简化为一阶线性方程。代入式(4)给出了方程的通解。第二，伯恩哈德方程一个可以转换成一阶线性方程的方程定义2:形式为的方程称为一阶伯努利方程。让我们来看看伯恩哈德方程的解：把方程转化成，使，然后方程变成是一阶线性方程，可以用上述方法求解。最后，通过回代可以得到一般解。例3得到了一般解。解：变换方程，得到伯努利方程。替代通过使用(4)，再次，这就是原始方程的一般解。9.5完整的微分方程一、主要内容：全微分方程的定义和条件，解的表达式的公共积分因子。本单元的教学大纲1.解全微分方程的关键是首先写出方程如果验证为真，上述公式可以写成解，可以找到以下三种方法：1)线积分法2)部分积分法3)分组观测和总微分法2.如果是，那么可以找到一个积分因子，这样就有了一个通用的解决方案。二、教学要求和注意事项判定和求解全微分方程的方法；团体观察法寻找整合因素；定义1:如果有一个可微函数，那么它被称为微分方程。命题：(1)全微分方程(2)的一般解决方法是，其中。示例1一般解决方案。解决方案：因此，该方程是一个完整的微分方程因此第二，可以转换成全微分方程的方程积分因子定义2:假设它不是一个完整的微分方程。如果有一个可微函数使它成为一个完整的微分方程，它被称为原方程的积分因子。注意：整合因素不是唯一的，一般没有固定的方法来解决整合因素，所以只有更多的积累才能有效地解决问题。例2(1)；(2)解决方案：(1)(2)9.6降阶高阶微分方程一、主要内容：三类降阶高阶微分方程：求解的表达式和解。本单元的课程大纲：1.关于高阶微分方程的解求解的思想是通过变量代换将高阶方程的解转化为低阶方程。教科书介绍了三种类型的可约方程。不属于这三类方程的特殊高阶方程有时可以通过代换或全微分的方法转化为这三类方程。2、只有逐步整合才能解决问题。在积分过程中，每次必须加一个常数，最终的解应该包含n个常数。3.降阶二阶微分方程常见的二阶微分方程是有四个变量，只有当它们缺失时为了解决这个问题，它当然可以减少。二、教学要求和注意事项方程求解中阶函数的推导过程说明1:偏导数的概念可能暂时不被引入来求解全微分方程，而Y可能被重新考虑定义1:二阶及以上的微分方程称为高阶微分方程。一、连续积分n次，得到其通解。示例1如果你连续积分两次，你会得到，第二，与标准形式相比，它缺乏。顺序，然后，然后，设置它的一般解决方案如下然后，通过对两边进行积分，得到通解。这个问题的一般解决方法。解：顺序，然后，然后(一阶线性方程)使用(4)，获得了一般的解决方案：同样，一般的解决方法是第三，缺乏制造，然后，替代，得到那么，让它的一般解是积分。示例3寻求特殊解决方案。解决方案：秩序，然后，因此，点来自所以通过了解所以通过了解例5得到了一般解。解决方法：这个问题既缺失又缺乏。理论上，结果可以用上述两种方法计算，但难度可能不同。这个问题是在课堂上当场做的，以检验学生的能力。9.7高阶线性微分方程一、主要内容：二阶线性微分方程的解的结构，高阶线性微分方程的解的结构，常数变分法，以及泛函群线性独立的充要条件。本单元的教学大纲1.二阶线性微分方程解的结构齐次线性方程和非齐次线性方程具有解的可加性。(2)非齐次线性方程的通解可以表示为相应齐次线性方程的特解和通解之和。(3)线性方程的通解包括方程的所有解。2.对于二阶线性方程，只需知道齐次方程的一个特殊解，就可以用常数变易法求出它的所有解。3.对于二阶非齐次线性方程，如果相应的二阶齐次线性方程的通解为，也可以用常数变分法求出其特解。本模块的任务：二、教学要求和注意事项二阶线性齐次方程通解中特殊解的线性独立性首先，函数的线性相关性与线性无关定义1:让它成为区间1上定义的函数。如果有不全为零的数，那么它被称为区间一上的线性相关。否则，它被称为区间一上的线性无关命题1:如果它是定义在I上的函数，那么线性独立性不是常数。注1:如果线性无关，则不能合并，但当线性相关时，可以合并。二阶和二阶线性微分方程及其解的结构定义2:形式方程：是一个二阶线性非齐次方程。如果，那么方程是齐次的，如果，那么方程是非齐次的。定理1:如果设置了两个线性独立的解，它们就是方程的一般解。定理2:设置是特殊解。是相应齐次方程的通解，那么是的，总体解决方案。定理3:如果分别为，和，则为的解决方案。例1让它成为一个二阶线性非齐次方程的解，并找到方程的通解。解决方案：不是常数因此，线性无关紧要。所以一般的解决方法是9.8常系数齐次线性微分方程