常微分方程期末模拟试题

实用标准复制常微分方程模拟练习问题和参考答案第一，填空(每个空间4点，共80点)1，n阶线性齐次微分方程基本解组中的解的个数正好为n。2，一阶微分方程的一般解是(c是任意常数)，方程和通过点(2，3)的特殊解是与线y=2x 3相切的解是满足条件的解。3，李普西茨条件是求解一阶微分方程初值问题的唯一必要条件。4，可以变换方程，使其成为变量可分方程。5，方程有无数的解。6，方程的一般解是满足初始条件的特殊解。7，方程不是惊人的解法。8，微分方程可构成一阶线性微分方程组。9，方程的奇怪解是y=0。10是三阶常微分方程。11，方程满足解的唯一性定理条件的区域是。12，可转换为一阶线性微分方程组的微分方程解为。13，二阶线性齐次微分方程的两个解成为基本解组的充分条件是线性独立的。14，set，线性微分方程组有基本解矩阵。第二，求解方程(每个问题8分，共120分)1、答案：方程式为顺序，下一个，替换为分离变量、积分、一般解原始方程式是2、答案：特性表达式为。特征根是，必须满足相应的固有向量相应的固有向量也可以按如下方式计算原始方程的一般解法是。3、答案：齐次方程的一般解法如下非齐次方程的特殊解是：取代原始方程，确定原始方程的一般解。4、答案：变量分离方程变量是分开的两边同时积分(其中c是任意常数)5、回答：积分：因此，典型的解决方案是：6、回答：两边平分，也就是说，因此，原始方程式的解为7、答案：方程式的性质方程式为也就是说特征根是，其固有向量必须满足以下条件同样，如果可以计算，则相应的特征向量为原始方程的一般解法如下8个，答案：线性方程式的性质方程式是特征值。功能单一，原始方程式被原始方程式A=-B=0取代不是特征的根原始方程式被原始方程式B=0取代所以原始方程的解法是9、答案：命令z=x y因此z 3ln | z 1 |=x，ln=x z也就是说10个，答案：给定方程是二次常数系数齐次线性方程。性质方程式为特征根是，方程的一般解法是11个，答案：(x-y 1)dx-(x 3)dy=0Xdx-(ydx xdy) dx-dy-3dy=0是d-d (xy) dx-3dy=0所以三、证明问题(共160分)1，(12分)证明满足初始条件的解决方案。证明：格式=(1)(C是待定常量矢量)初始条件=另外=所以C=替代(1)证明了=，即命题。连续设定在2，(12点)区段。试验方程所有解的存在区间是确定的。证明：通过已知条件，该方程满足了整个平面上解的存在性和解的扩展定理条件。很明显，方程的两个常数解。选择初始值。在这里。答案是，如上分析所示，一方面可以无限延伸到平面。另一方面，上不能通过，下不能通过，否则与唯一性相矛盾。因此，解决方案的存在区间是确定的。设定3，(12点)是方程式的解法，满足=0，此处连续。证明：有常数c=c .证明：设置，方程的两个解，以上定义，朗斯基决定因素是按已知条件因此，这两种解决方案是线性相关的。由线性相关定义，有非零常数，所以，因为，你知道。否则，如果是这样，这是线性相关的矛盾。说明了(12分钟)一阶微分方程解的存在唯一性定理的内容，并给出了唯一性的证明。清理：设定。(1)从上方连续地，(2)关于满足lipschz条件：总是有。初始值问题的唯一解决方案是在间距中定义的。连续且符合初始值条件。唯一性：在区间上设置为积分方程的解。证明：先估计。而且，设定成立这证明了任意的、总的估计值：因此，由于极限的唯一性，一致收敛。解决5，(10分钟)方程的奇点，确定奇点的类型和稳定性。解决方案：命令，奇点是(2，-3)代替原始方程式，因为，另外，为了两个不同的来源，所以奇点就是不稳定的鞍点，零解是不稳定的。求满足6，(12点)方程初始条件的解。解法：方程式的性质方程式，所以特征根(双重)，齐次方程对应的基本解矩阵，满足初始条件的特殊解决方案7，(10分钟)假定不是矩阵的特征值，并试验非均匀线性方程的解。其中是常数向量。证明：如果方程有类似的解，就可以确定。事实上，会被方程式取代。因为，所以，(1)不是矩阵的固有值，所以存在，所以(1)存在。因此方程有一种解法寻找并计算方程式8，(12分钟)的基本解矩阵。解决方案：全部为单个，如果将相应的特征向量设置为，则由。同样，相应的特征向量为：方程式的解法。命令，还有，基本解决方案矩阵。9，(12点)试验证明：存在随机和满足条件的方程的满足条件解。证明：在整个平面中连续原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理和解的扩展定理条件。显然，方程的两种特殊解法。现在，记住的解决方案，然后，此解决方案可以无限延伸到平面的边界，不能向上和向下漫游。因此，其存在区间肯定会成为。10，(10分钟)寻找曲线方程式，其原点在所有点的切线、切线和点的连接互垂平面上。解决方案：将曲线方程设置为，将切点设置为，将切点连接的斜率设置为。问题可以得到以下初始值问题：分离，积分，整理变量后，指定初始条件即可。所以曲线是。11，(12分)方程中，已知，上演欺骗。验证：满足随机和初始值条件的解决方案的存在区间。证明：从已知条件来看，其方程在整个平面上满足解的存在和扩张定理条件，并且存在一定的解。对于平面内的所有点，通过这一点的解法显然上面有定义。如果记住这一点，然后解决方案可以扩展到平面的无穷大。另一方面，在条形区域内，解决方案不能上下通过，否则与解决方案的唯一性相矛盾。因此，解决方案的存在区间将是肯定的。12，(10点)设定为方程式的两种解法。换句话说，他们的朗斯基决定因素是常数。证明：通过已知条件，该方程满足了整个平面上解的存在唯一性和解的扩展定理条件。很明显，方程的两个常数解。获取初始值。这里，这一点的答案是：如上分析所示，一方面可以无限扩展。另一方面，顶部未通过，底部未通过，否则与唯