苏教版平面向量的应用举例.ppt

平面向量的综合应用,知识梳理,平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：abab(b0)_.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0_.,1向量在平面几何中的应用,x1y2x2y10,x1x2y1y20,(3)求夹角问题，利用夹角公式(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos(为F与s的夹角),2平面向量在物理中的应用,平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，由向量平行或垂直等条件可以得到关于未知数的关系式，在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质,3平面向量与其他数学知识的交汇,一个转化解决平面向量与三角函数、解析几何综合问题的前提是利用平面向量的有关知识将问题转化两条主线(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题,【规律方法】,1(2011江西卷)已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_,考点自测,解析F1F2(1,2lg2)所以W(F1F2)s(1,2lg2)(2lg5,1)2lg52lg22.答案2,2已知共点力F1(lg2，lg2)，F2(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为_,解析a(2，1)，b(1，m)，ab(1，m1)，(ab)c，c(1,2)，2(1)(m1)0，m1.答案1,3(2010陕西卷)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则m_.,4设a，b是两个非零向量，如果(a3b)(7a5b)，且(a4b)(7a2b)，则a与b的夹角为_,读教材填要点,1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为；(2)通过，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系,向量运算,向量问题,向量,研一题,例1设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，试用向量证明：PQAB.,悟一法,利用向量证明几何问题有两种途径：(1)基向量法：通常先选取一组基底(对于基底中的向量，最好是已知它们的模及两者之间的夹角)，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系(2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为向量坐标运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化,通一类,例2.ABC中，,BN与AM交于点P，设,练习、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,猜想：AR=RT=TC,解：设则,由于与共线，故设,又因为共线，所以设,因为所以,线，,故AT=RT=TC,在ABC中，ADAB,，则的值是_,例3：,如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_,练习：,三角形ABC是等腰直角三角形，B90，D是BC边的中点，BEAD，延长BE交AC于F，连接DF，求证：ADBFDC.,【点评】向量可以解决直线(线段)的平行、垂直、夹角、距离(长度)等问题解决的关键是顺利把几何中的元素转化为向量,常用方法有坐标法和几何法，用坐标法注意坐标轴和原点的选取，用几何法要注意基底的选取,变式训练1.已知ABC三边长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：abcosCccosB.,又a与b的夹角为C，a与c的夹角等于B,故式可化为：|a|2|a|b|cosC|a|c|cosB，即|a|b|cosC|c|cosB，也即abcosCccosB.,2.求证：ABC的三条高交于一点,巧思可先找出其中两条高线的交点，然后证明另一个顶点与该点的连线与其对边垂直即可,解析：法一：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.,答案：5,【例1】如图,无弹性的细绳OA、OB的一端分别固定在A，B处，同质量的细绳OC下端系着一个秤盘，且使得OBOC，试分析OA、OB、OC三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？,A,O,B,C,a,c,b,研一题,悟一法,1向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象2在用向量方法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路3在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象,通一类,2三个力F1、F2