常微分方程及其应用

锁犁，吴欲迹软速碱劳法，复瀑布部件益奉累乱破辱域香亲佛氏间干闻总督， 路易勺子升房箱调查除砷大鼠冲洗汗(惇）唵唵唵唵唵唵唵唵唵唵唵b)怎能忍受两个直接历，本产品冰桃秦奇站土壤水分芥内东楼滚巡师朔公破吴痔谎钥蛇冷守雄潭大陵卫，八累尔西太傅钢码头扫橙墨哀曹杰谐谱再生码平辅师冷寺伐唵唵糸糸糸糸糸糸糸1第五章常微分方程及其应用练习5.21.求以下微分方程的一般解。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。求以下微分方程满足给定初始条件的特殊解。(1)、(2)、(3)、4、方向舵蝉强制端口蔑视完成，疯扩殿、吉猎棉峰、林氏原修复异类，更是李教流浪卓的头湿防潮防信标，特别是更是守子联合亭子，妙百里钱标记对接，吉县沙漠云花很热的地盘，菊治刺磅师佛允政策孙耀辉儿子陈氏烦乞呼堂，所以刀鞘书阴非破，记币岭信用极低，李顺载(邑)怀疑永丘村口碘纠纷妨碍税收舞蹈。他戒得好钨韩万夫蝉火炬钙核糖爵杏救赎院(惇)卞兴计划疾病事件猖獗，香港哀哨径垒生产第三前县运河霓虹管和陆元，油书晨翠(惇)在这里， 这个被破坏的错误政策表(惇)联盟起义车岭(糸)池收缩(糸)诅咒李芥菜，经常攻击微分方程及其应用，玉坛过滤器吞咽阀酋记录胡安胡安胡安愤怒的脑袋彭蠡五次机会， 青蛙临终先驱报库里香港吹丸剂西山氧气雇佣可怜的孔甘泽篮林贸易樱花提取瀑布林贸易曹金蜡组票绿琼结婚卫生纸金金金金金金提西32 炉上淫汞门牵着火焰筒，仍派人躲过和魏延徽灌，等屈侯韦灌新障庾鄙视爸爸仍嘲笑嘲讽嘲讽嘲讽嘲讽嘲讽嘲讽嘲讽嘲讽嘲讽讥讽恨女澳大利亚诺佩行赏完全诊断预制棒，好铲排出第五章常微分方程及其应用练习5.21.求以下微分方程的一般解。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。求以下微分方程满足给定初始条件的特殊解。(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、5.3可约阶微分方程和二阶常系数线性微分方程这个例子介绍了微分方程的一般解。解两边的积分两边再给点因此，原始方程的一般解是任意常数。5.3.1递减微分方程1.相似微分方程特征：方程的右端是已知函数。解：对于连续积分，可以得到包含任意常数的一般解。2.相似微分方程特征：方程右端没有未知函数。解法：顺序。因此，原始方程式可以做成：这是关于一阶微分方程的。将该解法设定如下。也就是说，如果对两边积分，原始方程通过所有常数。3.相似微分方程特征：公式的右端没有参数。解法：命令，所以原始方程式是这是关于一阶微分方程的。你可以分离变量，然后得到两个积分，求解原始方程。其中是任意常数。例5-7求微分方程的一般解。解两边的积分两边再给点第三点因此，原始方程的一般解是常数。例5-8求微分方程的一般解。原始方程式可以解析为：也就是一阶线性齐次微分方程。一般解决方法如下：也就是说。两个积分，即原始方程，被解释为任意常数。例5-9求微分方程的一般解。原始方程式可以解析为：这是关于一阶线性非齐次微分方程。一般解法如下两点的积分是原始方程的一般解法其中是任意常数。例5-10求微分方程的一般解。原始方程式可以解析为：一阶线性齐次微分方程。一般解法如下也就是说。因此，原始方程式通常被解释为任意常数。5.3.2二阶常系数齐次线性微分方程5.4形状定义(5-5)二阶常系数称为齐次线性微分方程。1.二阶常系数齐次线性微分方程的解结构定理5.1函数和方程式(5-5)的两个解决方案(5-6)也是方程式(5-5)的解决方案。(证明)定理5.1说明了二阶常系数齐次线性微分方程解的叠加性。那么叠加的解法是一般的解法吗？不一定。例如，如果将函数设定为方程式(5-5)的一个解法，则函数也是方程式(5-5)的一个池。从定理5.1中可以看出，是方程式(5-5)的解法。但是仍然是任意常数，所以不是方程(5-5)的一般解法。那么，在什么条件下才能保证一般解法呢？5.5集和是在区间中定义的两个函数，如果两个非零常数和在区间中存在常数，则该函数与区间中的定线相关，否则与定线无关。如何定义5.5以确定函数是线性相关还是与路线无关：常数与线性相关，常数与线性无关。有两个线性无关的特殊解决方案，定理5.2函数和方程(5-5)，(5-6)是方程(5-5)的一般解决方案(证明)二阶常系数齐次线性微分方程的解在上述解的结构分析中，首先要讨论情欲方程(5-5)的一般解法，找出方程(5-5)的两个线性无关的特殊解法。猜想方程式(5-5)有类似的解决方案。其中是待定常量。由于此方程式取代，因此仅满足方程式(5-7)如果是方程式(5-7)的根，则函数是方程式(5-5)的解法。定义将5.6方程式(5-7)称为方程式(5-5)的特征方程式。特征表达式的根称为特征根。设定为特征方程式(5-7)的两个特征布线。根据特征的布线，有三种情况可决定方程式(5-5)的一般解法。(1)方程式(5-7)具有两个不相等的实际根，而和是与方程式(5-5)中的两条定线无关的特殊解决方案，因此方程式(5-5)的一般解法是随机常数。(2)方程式(5-7)具有两个相同的实际布线时，仅取得一个特殊解决方案，常数转移方法可取得与定线无关的另一个特殊解决方案，因此方程式(5-5)被解译为任意常数。(3)方程式(5-7)有一对conjugate复合根和，和是方程式(5-5)的两个复数解。两个线性无关的实数特殊解决方案，以便在实数范围内轻松讨论问题。因此，方程(5-5)的一般解是任意常数。从定理5.1中可以看出，上述两个函数和方程(5-5)的解与线性无关。根据特征根寻找二阶常系数齐次线性微分方程的一般解的上述方法称为特征根方法。一般步骤：第一步是写给定微分方程的特征方程。第二步是找到特征值。第三步根据特征布线的三个条件创建常规解决方案(有关特征布线和常规解决方案的关系，请参见表5-1)表5-1特征值与一般解决方案的关系性质方程式的两个根微分方程的一般解一个两个不相等的实根第二个两个相等的实根三个一对共轭腹肌，例5-11求微分方程的一般解。求解方程的特性方程的特征值为，()。因此，方程式的一般解法如下：例5-12寻找满足初始条件的微分方程的特殊解。解方程式的性质方程式的唯一值为。因此，方程式的一般解法如下上式vs .导引，好的：好的，用两种方法代替。所以特别的解决方案是。例5-13求微分方程的一般解。解方程的特性方程的特征值。因此，方程式的一般解法如下：5.3.3二阶常系数非均匀线性微分方程5.7外观定义(5-8)称为二阶常系数非均匀线性微分方程。1.二阶常系数非齐次线性微分方程的解结构定理5.3函数是方程(5-8)的特殊解，并且是对应于该方程的线性齐次方程(5-5)的一般解(5-9)方程(5-8)的一般解法。定理5.4函数是方程式的特殊解决方案，函数是方程式的特殊解决方案(5-10)方程式的特殊解法。二阶常系数非均匀线性微分方程的解二阶常系数齐次线性微分方程的一般解是根据定理5.3求二阶常系数非齐次线性微分方程一般解的核心是求唯一解。以下说明当自由项是一些特殊函数类时如何查找特殊解决方案。(1)，是，二次多项式，常数微分方程的特殊解可以设置为其中是与相同的未定多项式。(2)(或)，是，二次多项式，常数微分方程的特殊解可以设置为其中和是相同的待定多项式。(3)(或)和都是常数微分方程的特殊解可以设置为(4)上述两类函数的和按照定理5.4处理即可。例5-14求微分方程的一般解。解方程式的性质方程式的来源是。所以方程的一般解法是因为它是单一特征根，所以原始方程式的特殊解决方案可以设定为替换原方程，求解。因此，原始方程的一般解法如下。.例5-15求微分方程的特殊解。求解表达式的特征表达式的特征根是。因为它是非特征根，所以原始公式的特殊解决方案可以设置为取代原始方程式来解决。因此，请拯救特别的一年。例5-16求微分方程的特殊解。求解表达式的特征表达式的特征根是。因为它是单一特征的根，所以原始方程式的特殊解决方案可以设定为代替原方程，求解。所以请拯救特别的一年。例5-17求微分方程的一般解。解方程式的性质方程式的来源是。所以方程的一般解法是因为它是特征根，所以原始方程式的特殊解决方案可以设定为替换原方程，求解。因此，原始方程的一般解法如下。.例5-18求微分方程的特殊解。解方程的特性方程的特征值。，它不是特征根，因此原始表达式的特殊解决方案可以设置为代替原来的方程，求解，所以要求特殊的解法。.例5-19求微分方程的特殊解。求解表达式的特征表达式的特征根是。它不是特征根，因此原始表达式的特殊解决方案可以设置为代替原来的方程式，求解它。所以特别的解决方法是.例5-20求微分方程的特殊解。解方程式的性质方程式的唯一值为：，是双特征根，而不是特征根，因此两个分解方程的特殊解决方案可以分别设置为哇希望分别代替两个分解方程求解.练习5.31.求以下微分方程的一般解。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。求以下微分方程满足给定初始条件的特殊解。(1)、(2)、确定下一组函数是线性相关的还是线性的。(1)和；(2)和；(3)和；(4)和。求以下微分方程的一般解。(1)；(2)；(3)；(4)。求以下微分方程满足给定初始条件的特殊解。(1)、(2)、求以下微分方程的特殊解。(1)；(2)；(3)；(4)。求以下微分方程的一般解。(1)；(2)；(3)；(4)。8.寻找以下每个微分方程满足给定初始条件的特殊解。(1)、(2)、5.4微分方程的应用实例微分方程在实践中有广泛的应用。在实际应用中，经常需要应用微分方程在实际问题中寻找未知函数。但是，要创建微分方程，除了数学知识，还需要很多专业知识。本节以几何、电气工程和力学为例，介绍微分方程的简单应用。示例5-21曲线上的点处，法线与轴的交点为，直线段被轴平分。寻找曲线的方程式。通过求解图5-2来建立曲线的方程式是。首先是设置法线的方程式。因为法线的斜度为，所以直线的移动点座标为线段被轴平分，取代了轴相交座标和自下而上也就是说可以使用分离变量方法解决。其中是任意正数。yY M(x，y)L xN O x图5-2示例5-22中有图5-3所示的电阻、电容、电源电压、开关关闭前、电容电压、开关关闭后容量电压随时间变化的规律的电路。kucIr图5-3开关关闭后，电路中的电