外文文献数学问题解决第二版几何P45-P54-代数P27-P28部分翻译

首都师范大学本科生外国文学翻译文件和材料的名称文献资料来源图书馆资源春天电子图书图书馆翻译部分页码：几何P45-P54，代数P27-P28目录几何14.1轨道1问题34.2对称性和其他变换3对称性3第5位问题8代数93.1平等和不平等的证明9附录：外国文学原文10数学问题解决几何学在本章中，我们将使用以下常见符号：指线段的长度；指角度的程度；指三角形的面积。4.1轨迹我们从飞机上的四个常见轨迹开始。4.1。给定一个固定点和一个正实数，到这些点的距离为的所有点(表示为)的轨迹是一个圆心为圆心、半径为半径的圆。(并证明)4.2。距离相等的两个不同点的轨迹是线段的垂直平分线。(详见问题1.16)4.3。两条给定相交线之间的距离相等的点的轨迹是两条相交线形成的角度的两条垂直平分线。假设它是一个几何图形和一个点。穿过该点的两条切线之间的角度是，我们说我们在该点的角度看几何图形。4.4。给定一条线段和一个角度，从该角度观察的所有点(即)的轨迹是对称于但不包括两个端点的双圆弧。解决方案：让我们只考虑线段上方平面的一半。我们可以画一个等腰三角形，并且这个三角形满足以下要求：(图4.1(a)和一个以点为中心和半径的圆。对于圆弧上的任何一点，角度都是用圆弧的一半来测量的(请参考你的几何教科书中的这个定理，不要急于合上书！)如果我们去圆之外的任何一点(图4.1(b)，那么它小于角度，因为它的测量不同于圆弧和圆弧。)如果我们取圆中的任何一点(图4.2(a)，它将大于角度，因为它对应于弧和弧之和的一半(现在你可以合上你的课本了！)。(a) (b)图4.1最后，线段下方的半平面的情况与线段上方的情况相同，所以我们得到两个对称的弧和弧，不包括两个端点(图4.2(b)。(a) (b)图4.24.5。给定一个点和一条直线，找到该点的轨迹，其中该点是线段的另一个端点，该线段的端点在直线上，并且是中点。解决方法：如果该点在一条直线上，并且该点是线段的中点，则该点是通过以一个角度围绕该点旋转该点而获得的图像。因此，轨迹是以一个角度围绕该点旋转直线的结果。当然，轨迹是一条直线的平行线，它与一点的距离等于直线与一点的距离。(图4.3)图4.3问题4.6。找出所有点到两条给定平行线距离相等的点的轨迹。4.7。找出与给定直线的距离等于给定距离的所有点形成的轨迹()。4.8。给定线段、圆、角度和角度，找出由所有点形成的轨迹，其中线段通过角度观察，圆通过角度观察。集合中有多少元素？4.9。给定一个正方形和一个角度，找出从一个角度看正方形的所有点的轨迹，当角度范围为时，解决相同的问题。4.10。给出了线段和线段，其中，()，找到了所有满意点形成的轨迹。4.11。证明任意三角形三条边上的垂直平分线相交于一点。4.2对称性和其他变换对称4.12。生活在社区中并在公司工作的人(见图4.4(a)通常会选择在孩子下班后开车送他们去上班。那么我们应该把学校建在路上的什么地方来减少开车呢？一旦选定了学校的地址，道路也将被修建。分析：设定点是一个图像，其中点关于直线对称。确实如此(见图4.4(b)。所有虚线，线段是最短的路线。解决方案：绘制对称的图像点和相对于直线的直线。直线和直线的交点是学校的最佳位置。(a) (b)图4.44.13。建立一条两边有两条平行直线的河流。城市A和B位于河流的两侧(见图4.5(a)。为了减少城市A和B之间的距离，我们应该在哪里建一座桥(当然，桥必须垂直于河的两边)？地图图4.5分析：设定点是以河流宽度为平移距离，在朝向和垂直于河流的方向上平移点得到的结果。(见图4.5(b)。然后是：在所有多段线中，线段是最短的线段解决方案：将河流的宽度作为平移距离，以将结果点向河流平移并垂直于河流，并与。这条河的下游和的交汇处是建造这座桥的最佳地点。4.14。两个任意的圆有并且只有两个公共点和点。找到一个点并使两个圆中形成的字符串长度相等的直线。这个问题有多少种解决方法？分析：至少有一个解决方案：直线。假设直线不通过点，并且(见图4.6)。图4.6因为一个点是关于一个点的对称点，一个给定的通过点圆的对称圆必须通过一个点。解决方案：对于通过点圆的给定对称圆，每个圆的对称圆和另一个给定圆的交点决定了要找到的直线。这个证明过程显然基本上是这个过程的重复。研究：因为点在圆上，圆上的点必须在圆内(别忘了，圆和圆有并且只有两个不同的公共点！)，圆必须在圆外有一个点(即指出关于该点的对称点)。因此，除了这个点之外，必须有并且只有一个交点，所以问题的解决方案总是可以找到两个(不要忘记第一个解决方案是)。我毫不怀疑我的读者对平移、旋转、中心对称、镜像对称和其他常用的转换类型有很好的了解。在这里，我想对另一个重要的转换类型同位进行更详细的介绍。相似的给定一个点和一个非零数字，类比特变换或类比特变换是指以点作为类比特中心作为类比特系数的变换映射。记住，这种映射将任何点映射成在一条直线上与：相交的点。请注意，与仅表示线段长度不同，矢量和还包含方向。当方向矢量的方向与单位方向矢量的方向相同时，方向矢量的测量结果等于相应的值图4.7位似然系数如果线段的长度方向不同，则测量结果为。如果它是一个负的类比特系数，它将意味着点和点将位于类比特中心的相对两端。图4.8位似然系数通过位状变换获得的图像由位状变换下的几何图形形成，并且该位状变换包括从几何图形上的点到获得的几何图形上的点的位状变换。请注意(并证明！)问题是：(a)线段的类比特变换图像是平行于线段的线段，并且线段满足，其中是类比特变换的系数。(b)两个按位多边形和多边形相似。任何两个圆都是按位的(即必须有一个满足的按位变换)。(d)关于点的对称性是类比特变换的特殊情况，其中类比特变换的系数。4.15。给定锐角三角形中的内接正方形。分析：要使一个正方形内接在一个锐角三角形中，正方形的两个点，如点和点，必须在三角形的同一条边上，例如，另外两个点分别位于三角形的另外两条边上(见图4.9)。图4.9如果我们放弃顶点必须在三角形边上的想法，那么我们可以得到许多(事实上，无穷多个)满足所有其他条件的正方形(即边上的边，边上的顶点)。让我们取一个正方形，我们会发现正方形和正方形有点像！结构：(1)构造正方形，其中正方形的边在三角形的边上，顶点在边上；边缘上的点作为交叉点，满足的点作为点。交叉点引导垂直于边缘，然后交叉点被视为垂直于边缘。两条垂线的交点即为该点。(2)通过点和点画直线，并将线和线的交点标记为点(3)该结构：可以通过以点为类比特变换中心的类比特系数和类比特变换来概括。证明。类似比特变换后的平方的结果仍然是平方。类似地，选择边上的点、边上的点以及边上的点。因此，由于和点是边上的一个点，所以该点是边上的一个点，类似地，可以证明点和点是线段上的点。研究。假设一个正方形的两个顶点在三角形的边上，我们构造的中点的存在性和唯一性总能给我们一个精确的解。如果假设改变了，也就是说，一个正方形的两个顶点在边上，我们可以得到另一个解。当一个正方形的两个顶点在边上时，我们可以得到另一个解。这样，这个问题总是有三种解决方法。问题4.16。如果一条河的两条支流把城市和城市分开(见图4.10)，为了使从城市到城市的旅程最短，应该在哪里建桥？图4.104.17。给定三条平行线，请找出一个等边三角形，三角形的三个顶点，分别位于三条平行线上。4.18。给定三个同