反常积分的几种计算方法

内容摘要1关键词1摘要1关键词10之前.11不当积分的定义11.1无限积分1的定义1.2缺陷点2的定义2不当积分的计算方法32.1牛顿莱布尼茨公式3计算不适当积分2.2用变量代换法计算不适当的积分32.3通过第5部分的积分计算不当积分2.4用分段积分自消法计算不适当积分72.5用方程式方法7计算不适当的积分2.6用级数法9计算不适当的积分2.7待定系数法计算不适当积分10结论11参考文献11不当积分的几种计算方法本文主要总结了不当积分的计算方法。它主要描述了计算中各种方法的灵活运用。关键词：不当积分；变量替换；部分积分；级数法；待定系数法反常积分的几种计算方法本文主要总结了反常积分的计算方法。本文着重描述计算中各种方法的灵活运用。关键词：异常积分；变量替换；分段积分；级数法；待定系数法0前言不当积分是微积分中的一种重要积分，不当积分的计算是学习积分计算的一个难点。本文不仅介绍了牛顿莱布尼茨公式、变量代换和分部积分三种常用的基本方法，而且还介绍了一些比较适用的解题方法，如分段积分自消法、方程法、级数法和待定系数法。通过引用一些经典的例子，我们可以对这些方法有更深的理解。然而，在解决具体问题时，要求我们注意各种方法的灵活性和相互渗透，以便简化计算。1不当积分的定义1.1无限积分的定义定义1如果有极限，让一个函数在无限区间上定义，并且在任何有限区间上都是可积的,这个极限称为上表面函数的无限极限不适当积分(称为无限积分)，并记录为,如果极限不存在，为了方便起见，它也被称为散度。同样，上的无穷积分可以定义为：对于上的无限积分，它由前两个无限积分定义：1.2缺陷点的定义定义2让一个函数定义在一个区间上，在一个点的任何右域上是无界的，但在任何闭区间上是有界的和可积的。如果有限制的话,那么这个极限被称为无界函数上的不当积分，它被写成,据说不适当的积分是收敛的。如果极限不存在，也可以说是不适当的积分发散。在定义中，被积函数在该点附近是无界的，那么该点称为缺陷点，无界函数的不适当积分也称为缺陷积分。类似地，当缺陷点是：其中，点的任何左域都没有边界，但它在任何域上都是可积的。如果的缺陷为，则定义缺陷分数=。上面有一个定义，它在任何点的域中都是无界的，但在任何和中都是可积的。当且仅当公式右边的两个缺陷积分收敛时，左边的缺陷积分才收敛。如果两个点都是缺陷，并且可以在任何尺度上累积，那么缺陷点被定义。=，任何实数在哪里？同样，当且仅当公式右边的两个缺陷积分收敛时，左边的缺陷积分才收敛。2积分计算方法不当计算广义积分有三种基本方法：牛顿-莱布尼茨公式、变量代换和分部积分。让它成为不适当的积分，唯一的奇点(有限数，或)，并计算：2.1用牛顿莱布尼茨公式计算不当积分如果是的连续原始函数，则。示例1计算值。解决方法：它在上层是连续的，因此它可以在任何一层积累，这是它的缺点，因此2.2用变量代换法计算不当积分如果单调上有连续导数(有限数或无限数)，那么。(9)示例2计算值。解决方案：订单。例3证明了方程，其中(假设两个积分是有意义的)。分析：来比较等式的两边，我们必须做出,因为，这就是要求，也就是。因此，我们选择了以下转换：证据：命令，情况就是如此，因此是可以利用的。,所以，在上述公式右侧的第一个积分中，使、然后将其改写为，合并两点得到。因此，这个公式得到了证明。2.3用分部积分法计算不当积分如果上有连续导数，则。(10)示例4计算值。解决方案：示例5计算积分。解决方法：(难点在于被积函数中的对数符号，通过部分积分来消除)原始公式(我们看到，如果被积函数没有分母，积分值可以用积和差公式立即计算出来。因此，我们希望尝试应用该公式反汇编被积函数)。因为,第一个积分是0，第二个积分是0。示例6计算。解决方案：,部分积分建立的递推公式：,那是。,在计算中，我们也可以用变量代换的方法来解决这个问题，然后直接引用公式。使用部分积分，我们通常可以得到递推公式来简化运算。除了上述三种基本方法之外，根据具体情况还经常使用以下方法：2.4用分段积分自消法计算不适当的积分这种方法的计算主要分为两个步骤：第一步是分割待计算的积分区间；第二步是替换变量，通过这些变量，一些分段的积分区间可以与它们中的一些相抵消或合并。示例7计算值。解决方案：=0通过以上计算，我们可以发现这种方法可以省去很多计算。关键在于为积分区间找到最合适的分段和变量替换，否则会适得其反。2.5方程法计算不当积分用方程法计算不适当积分分为两步：第一步是通过变量替换对原积分进行变换；第二步：将原始积分和变形积分相加，计算相加的积分，得到原始积分。例8计算积分。解决方案：=通过解方程：例9计算积分。解决方案：然后。2.6级数法计算不当积分用级数法求不适当的积分时，关键是将积分区间分段，使不适当的积分可以表示为级数的和，从而简化运算。例10证明。证明了当时： (1)是收敛的，因为积分是收敛的。(2)。因此：2.7用待定系数法计算不当积分在使用待定系数法时，通常将有理分式转化为部分分式，然后用十一部分法求解(待定系数)。等式的两边将相乘。然后,在那里。观察(当时)，因此。结束语不当积分的计算方法灵活多变。任何问题都有许多计算方法。我们应该提取最简单的计算方法。除了以上几种计算方法之外，还有许多计算方法需要我们去探索、总结和总结。更重要的是，我们应该学会如何灵活运用这些方法。参考文献：1费定辉，等，集气道戚迹数学分析习题M，山东：山东科技出版社，1990。2同济大学应用数学系，高等数学M，北京：高等教育出版社，2002。3刘玉莲、傅佩仁。数学分析讲座。第二版。北京：高等教育出版社，1996.43-47。4李正元周剑英。解决高等数学问题指南