高等数学教学大纲

高等数学教育大纲一、课程说明数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。 现代数学内容更丰富，方法更综合，应用更广泛。 数学不仅是工具，还是思维模式，不仅是知识，还是素养，不仅是科学，还是文化。 运用数学观念能否定量思考是衡量民族科学文化素质的重要标志。 数学教育在培养我国社会主义现代化建设所需的高质量专家中，显示出越来越独特和不可替代的重要作用。高等数学课程是高等学校各专业学生必修的重要基础理论课。 通过本课程的学习，使学生获得一元函数微积分学的矢量代数和空间解析几何多函数微积分学无限级数常微分方程式等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续的课程学习和获得数学知识奠定了必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象力和自学能力，培养学生综合利用比较熟练的运算能力和学到的知识分析和解决问题的能力，逐步培养学生的探索精神和创新能力。本大纲术语将基本要求从低级别分为高级别，将对概念理论的要求分为“了解”、“理解”的方法，对运算的要求分为“会”或“了解”、“把握”。在授课时数的配置中，本课程可配置2学期，每周6学期，实际授课时数约为180小时。 我校三册，学生入学水平低，教学时数比较紧张。二、教育要求和教育要点第一章函数和极限(一)教育的基本要求：1 .理解函数的概念2 .了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性3 .理解复合函数的概念，理解反函数的概念4 .把握基本初等函数的性质和图形5 .建立简单实际问题中的函数关系6 .理解界限的概念(界限的定义在学习过程中加深理解，是否提出要求)。7 .掌握极限四则算法8 .理解存在两个界限的标准(夹紧标准和单调有界标准)，用两个重要界限求界限9 .理解无限小无限大和无限小阶级的概念，求等价无限小的界限10 .理解函数稍微连续的概念11 .理解断续点的概念并确定断续点的类型12 .初等函数的连续性和闭区间的连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理)(2)教育要点：1 .函数复习(函数的概念、单调性、周期性、偶奇性、基本初等函数的性质和图形)、逆函数和复合函数的概念、初等函数、单纯现实问题中的函数关系2、数列界限、函数界限、界限四则运算、界限有标准，有两个重要界限：无穷小和无穷大3 .函数连续性、间断点概念、初等函数连续性、闭区间连续函数的性质第二章导数和微分(一)教育的基本要求：1 .理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义和函数的可导性与连续性的关系，用导数求出关系函数的变化率2 .掌握微分四则算法和复合函数求导法，掌握基本初等函数、双曲函数求导公式，了解微分四则算法和一次微分形式的不变性3 .理解高阶导数的概念4 .掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法5 .求出用隐藏函数和参数方程式确定的函数的1次、2次导数，求出逆函数的导数(2)教育要点：1 .导数的概念、几何意义、可导和连续的关系2 .导数的基本公式，复合函数求法则的逆函数，隐函数，参数方程式决定的函数的导数，初等函数的导数，高次导数3 .微分概念、求法、几何意义、一阶微分形式不变性、微分近似计算和误差估计中的应用值定理与导数在第三章中的应用(一)教育的基本要求：1 .理解罗尔定理，拉格朗日定理，理解柯西定理和泰勒定理2 .了解函数的极值概念，掌握导数求函数单调性和极值的方法3 .求出用导数判断函数图案凹凸性的拐点，绘制函数的图形(包括水平线和垂直渐近线)。 解决简单的最大值和最小值应用问题4 .用洛必塔定律求未定式的界限5 .理解曲率和曲率半径的概念，计算曲率和曲率半径6 .知道方程近似解的二分法和切线法(2)教育要点：1 .罗尔定理，拉格朗日定理和柯西定理，罗必塔定理，泰勒定理2 .函数的增减性和极值、最大值和最小值3 .曲线的凹凸和拐点、函数图形的描绘4 .弧微分、曲率、曲率半径、方程的近似解第四章不定积分(一)教育的基本要求：1 .理解不定积分的概念和性质2 .把握不定积分的基本式、不定积分的换元法和支部积分法3 .求简单有理函数的积分(2)教育要点：1 .不定积分的概念、性质、基本积分表2 .不定积分的换元法和分部积分法3 .有理函数的积分(三角函数的有理公式，包括简单的无理函数)，积分表的使用第五章定积分(一)教育的基本要求：1 .理解定积分的概念和性质2 .将变上限的定积分理解为其上限的函数及其求导定理，把握牛顿莱布尼茨公式3 .把握定积分的换元法和支部积分法4 .理解广义积分的概念，理解定积分的近似算法(梯形法和抛物线法)(2)教育要点：1 .定积分的概念、性质2 .微积分基本公式3 .定积分的换元法和支部积分法4 .定积分的近似计算5 .广义积分(包括函数的概念和性质)第六章定积分的应用(一)教育的基本要求：掌握用一定积分的元素法表现几何量和物理量(面积、体积、弧长、工作、水压和引力等)的方法(2)教育要点：1 .定积分的元素法2 .平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长3 .工作、水压和引力4 .函数的平均值第七章空间分析几何与向量代数(一)教育的基本要求：1 .理解向量的概念，把握向量的运算(线性运算、点乘、啁啾运算)，把握两个向量角度的求法和垂直、平行的条件2 .掌握利用单位向量、方向馀弦、向量坐标式和坐标式进行向量运算的方法3 .把握平面方程和直线方程及其求法，利用平面与直线的相互关系解决问题4 .理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面和母线平行于坐标轴的圆柱方程5 .理解空间曲线的参数方程和一般方程，理解曲面交线在坐标面上的投影(2)教育要点：1 .空间正交坐标系、矢量坐标2 .向量的线性运算、向量的数积、向量积3 .平面及其方程(点法、通式、双平面角度)4 .空间直线及其方程式(通式、对称式、参数方程式、直线与直线以及直线与平面的角度)5 .曲面及其方程(旋转曲面、圆柱)6 .空间曲线及其方程7 .二次曲面第八章多函数微分法及其应用(一)教育的基本要求：1 .理解多变量函数的概念，理解二元函数的界限、连续性等概念和有界闭域中连续函数的性质2 .了解偏微分和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件3 .了解方向导数和梯度的概念及其计算方法4 .掌握复合函数的一次偏导函数的求法，求复合函数的二次偏导函数5 .求隐函数(包括由两个方程组成的方程的隐函数)的偏导函数6 .理解曲线的切线、法线平面和曲面的切线平面和法线，求出它们的方程式7 .理解多变量函数的极值和条件极值的概念，求二变量函数的极值。 理解求条件极值的拉格朗日乘数法，求解比较简单的最大值和最小值的应用问题(2)教育要点：1 .多变量函数的概念、二元函数的极限、连续2 .偏导函数的概念及其计算法、高阶偏导函数3 .全微分及其在近似计算中的应用4 .多变量复合函数的求导规律、隐函数的求导规律5 .空间曲线的切线和法线平面、曲面的切线和法线6 .方向导数和梯度7 .多变量函数的极值、条件极值和拉格朗日乘数法、最大值和最小值第九章再积分(一)教育的基本要求：1 .了解双重积分的概念，了解双重积分的性质2 .掌握双重积分的计算法(直角坐标、极坐标)3 .了解三重积分的概念，了解三重积分的性质4 .了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱坐标、球坐标)5 .通过重量积分求出几何量和物理量(体积、曲面面积、重心、惯性矩、引力等)(2)教育要点：1 .双重积分的概念、性质2 .双积分的计算(直角坐标、极坐标)3 .三重积分的概念、性质4 .三重积分的计算(直角坐标、柱坐标、球坐标)5、重积分在几何、物理上应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量、引力等)。第十章曲线积分与曲面积分(一)教育的基本要求：1 .了解两种曲线积分的概念，了解两种曲线积分的性质与两种曲线积分的关系2 .计算两类曲线积分3 .把握绿色公式，利用平面曲线积分与路径无关的条件4 .了解两类曲面积分的概念和斯托克斯公式，掌握高斯公式5 .计算两类曲面积分6 .介绍了解散度、周转度的概念7 .通过曲线积分和曲面积分求出几何量和物理量(曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等)(2)教育要点：1 .两类曲线积分的概念、性质及两类曲线积分的关系2 .两类曲线积分的计算3 .绿色公式、曲线积分与路径无关的条件4 .两类曲面积分的概念和性质5 .两类曲面积分的计算6 .高斯式、通量和分散度7 .斯托克斯式、环流量和回转度第十一章无限级数(一)教育的基本要求：1 .了解无穷级数的收敛、发散和和概念，了解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件2 .把握几何级数和级数的收敛性3 .理解正项级数的比较检验法，掌握正项级数的比检验法4 .一旦理解交织级数的莱布尼茨定理，就估计交织级数的截断误差5 .理解无限级数绝对收敛与条件收敛的概念和绝对收敛与条件收敛的关系6 .了解函数项级数的收敛域和和函数的概念7 .把握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性也可以不要求)。8 .幂级数理解其收敛区间内的一些基本性质9 .理解函数展开成泰勒级数的充分必要条件10 .利用和的麦克劳林展开公式，将一些简单函数间接展开为幂级数11 .了解幂级数在近似计算中的简单应用12 .了解函数展开为傅立叶级数的direk条件后，在和中定义的函数将展开为傅立叶级数，而在顶部定义的函数将展开为正弦或馀弦级数(2)教育要点：1 .常数项级数的概念、性质及收敛的必要条件2 .几何级数和级数3 .正项级数的比较检验法和比较检验法4 .交织级数的莱布尼茨定理5 .任意项级数的绝对收敛和条件收敛及其关系6 .函数项级数的收敛域和和函数的概念7 .幂级数的收敛区间及其求法8 .幂级数在其收敛区间内的一些基本性质9 .把函数展开成泰勒级数的充分必要条件，把函数展开成幂级数(间接法)。10 .幂级数在近似计算中的简单应用11 .傅立叶级数、正弦和馀弦级数、周期为的周期函数的傅立叶级数第十二章常微分方程(一)教育的基本要求：1 .了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念2 .掌握变量可分离方程和线性方程的解法3 .解开次方程式和伯努利方程式，理解变量求解方程式的思想，求解全微分方程式4 .用降阶法求解下列方程式：和5 .理解二阶线性微分方程解的结构6 .掌握二阶常数一阶线性微分方程的解法，了解高阶常数一阶线性微分方程的解法7 .求自由项形式：的二阶常数非齐次线性微分方程的特解8 .用微分方程求解简单的几何和物理问题(2)教育要点：1 .微分方程的基本概念2 .可分离变量的微分方程式、齐次方程式、一次线性微分方程式、伯努利方程式、全微分方程式3 .可下楼梯的高阶微分方程4 .二阶线性微分方程解的结构5 .二阶常数一阶线性微分方程6 .二阶常数非齐次线性微分方程三、课堂教材和主要参考资料教材：同济大学数学教室主编. 高等数学 .高等教育出版社. 1996年12月第4版(本教材于1997年获得普通高等学校国家级教育成果一等奖)主要参考资料：1国家理科基地着名课题组编、王丽燕、秦禹春编着. 高等