高中常见分段函数题型归纳

提高兴趣 增强自信 对接高考 分层教学 总结规律 规范答题分段函数常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数， 它是一个函数，非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.与分段函数有关的类型题的求解，在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型，并未作深入说明，因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法1求分段函数的定义域和值域例1.求函数的定义域、值域. 解析：作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为（-1，2U3.例2.求函数的值域.解析：因为当x0时，x2+11；当x0时，-x20.所以，原函数的值域是1,+)(-,0). 2求分段函数的函数值例1.已知函数求. 解析：因为, 所以. 例2.已知函数 ，求fff(a) (a0)的值.分析: 求此函数值关键是由内到外逐一求值，即由 a0, f(a)=2a，又02a1, , ，所以，. 注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段练1.设则_练2.设则_3求分段函数的最值例1.求函数的最大值. 解析：当时, , 当时, , 当时, , 综上有. 例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1,xR,求f(x)的最小值. 分析：因为原函数可化为 所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可. 解：当x0)的反函数是y=1-x(xx2必须分成三类： 1.当x1x20时，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2)0； 2.当0x1x2时，则； 3.当x10x2时，则 综上所述：xR，且x1x2时，有f(x1)-f(x2)0。 所以函数f(x)是增函数. 注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论. 解二：显然连续. 当时, 恒成立, 所以是单调递增函数, 当时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以在上是单调递增函数; 或画图易知在上是单调递增函数. 例2.写出函数的单调减区间. 解析：, 画图知单调减区间为. 9解分段函数的方程例1.设函数, 则满足方程的的值为_ 解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求. 例2.设函数, 则满足方程的的值为_解析：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求. 练1：函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足A.a0B.0a1练2：设定义为R的函数则关于的方程有7个不同的实数解的充要条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且练3：设函数在上满足，且在闭区间上，只有. （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.10解分段函数的不等式例1：设函数, 若, 则得取值范围是（ ） 解一：首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是. 解二：因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 故选D. 例2：设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）A B. C. D. 解析：当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项. 例3：设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）A B. C. D. 解析：当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项. 练1：已知，则不等式的解集是_练2：设f(x)= 则不等式f(x)2的解集为_(A)（1，2）（3，+）(B)（，+）(C)（1，2） （ ，+）(D)（1，2）练3：设(x)=，使所有x均满足x(x)(x)的函数g(x)是（ ）A(x)=sinx B(x)=x C(x)=x2 D(x)=|x|点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径， 若能画出其大致图