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九年级数学(下)第三章圆,3.3垂径定理,成都市通锦中学校张小平,知识回顾,圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,圆是中心对称图形吗？,圆具有旋转不变性,圆的对称性,圆心角、弦、弦心距、弧的关系,在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,AM=BM,问题1垂直于弦的直径有什么特点？,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?说说你的想法和理由.,作直径CD,使CDAB,垂足为M.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,图中有:,由CD是直径,CDAB,即,垂直于弦的直径有什么特点？,理由是:,连接OA,OB,O,C,D,M,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,由CD是直径,CDAB,AM=BM,定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,垂径定理,定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,几何语言,CDAB,问题2：平分弦的直径有什么特点？,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,图中有:,C,D,由CD是直径,AM=BM,M,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理的推论,垂径定理及推论综合,思考：,CD是直径;,AM=BM；,CDAB；,垂径定理及其推论可归纳为：直线过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.只需其中两点就能推出其余的三个，可简单记为“知二推三”.,解这个方程，得R=545.,例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点0是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE垂直于CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。,解：连接OC，,设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。,OECD,CF=CD=x600=300(m).,根据勾股定理，得OC=CF+OF,即R=300+(R-90).,所以，这段弯路的半径为545m,画一画,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,练习：已知：如图，O中，AB为
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