3.6 勾股定理.ppt

勾股定理,3.6,1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图3-79所示，试量出它的斜边c的长度.,我量的为5cm.,2.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图3-80，那么这三个正方形的面积有什么关系呢？,3.是否对于所有的直角三角形，它的三边之间都有这样的特殊关系呢？即任作RtABC，C=90，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？,其中图(甲)中的大正方形的面积为，图(乙)中的大正方形的面积为，容易看出图(甲)和图(乙)中的两个大正方形面积是相等的.,于是有,即,直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.,直角三角形的性质定理：,其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的这个性质；,由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一性质称为勾股定理.,勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.因此根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边的长.,如图3-84，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm.,（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？,图3-84,（2）ABC的面积是多少呢？,图3-84,1.你能不能只用图3-83(乙)来证明勾股定理吗？,图3-83(乙),2.图3-85是一个边长为3的正方形，两条对角线AC与BD相交于O.观察此图形并回答下面问题：,（1）对角线AC有多长呢？(精确到小数点后面第二位),（2）图中有多少个直角三角形？,图3-85,答：4.24,答：有8个直角三角形.,3.有一颗树较高(如图3-86)，无法直接量出它的高度.可以先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使此时测得树顶点A的仰角为60，再用皮尺测得BC之间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？,图3-86,如图3-87，已知在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么ABC是直角三角形吗？,图3-87,你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？,可以画一个，使C=90，如图3-88.,根据勾股定理，因为a2+b2=c2，所以于是斜边,图3-88,图3-87,图3-88,在ABC和中，因为，所以ABC(SSS)于是(全等三角形的对应角相等)所以ABC是直角三角形.,如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,直角三角形的判定定理：,举例,例1如图3-89，在ABC中，已知AB=10，BD=6，AC=17.求DC的长.,图3-89,先根据直角三角形判定定理,再根据勾股定理,解：,在ABD中，已知AB=10，BD=6，AD=8，根62+82=102，即AD2+BD2=AB2.所以ADB=90，()ADC=180-ADB=90.在RtADC中，根据勾股定理，可得DC2=AC2-AD2，所以,图3-89,直角三角形判定定理,1.已知ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？,（1）a=8，b=15，c=17；,（2）a=10，b=24，c=25.,答：是.,答：不是.,2.某地有A，B，C三个村，建立了直角坐标系后，它们的坐标分别为：A(1，0)，B(4，0)，C(1，4)，现要建立一所希望小学，要求学校到三村的距离相等.你能在图3-90中根据这一要求确定学校的地址吗？,图3-90,答：建在BC的中点.,举例,例2如图3-91，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？,图3-91,证明：在ABC中，AC=4，BC=1.5，由勾股定理得，在中，故，从而AA=3.87-3.71=0.16.即梯子顶端A只向上移动了0.16m，而不是移动0.5m.,举例,例3(我国古代数学问题)有一个正方形水池，每边长4m，池中央长了一棵芦荟，露出水面1m，把芦苇的顶端引到岸边(水池边的中点)，芦苇顶和岸边水面刚好相齐.你能算出水池的深度吗？,图3-92,证明：如图3-92，设水池深为xm，则BC=xm，AC=(x+1)m.因为池边长为4m，所以BA=2m.在中，根据勾股定理，得x2+22=(x+1)2，即x2+22=x2+2x+1，解得x=1.5.答：水池的深度为1.5m.,1.将图3-93中的RtAOB以O点为旋转中心，逆时针方向旋转，使OA落在y轴上.,（1）作出旋转后的直角三角形；,（2）写出旋转后顶点A的坐标.,答：(0，5)或(0，-5).,图3-93,2.如图3-94，小明和小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰B测得仰角为45.然后从山脚沿一段倾角为30的斜坡走了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？,图3-93,证明：因为ABC=BAC=15，所以BC=AC=2km，在RtBCD中，CD=1km，所以主峰高度为,例1,如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在