01 二次函数的图像与性质1教师2015秋季 初三数学培优进度二

1 / 11 第一讲 二次函数的图像与性质（1） 【二次函数的定义】 1. 一般地，形如cbxaxy 2 （cba,为常数，0a）的函数称为x的二次函数，其中x为自 变量，y为因变量，cba,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数 2. 任何二次函数都可以整理成cbxaxy 2 （cba,为常数，0a）的形式 3. 判断函数是否为二次函数的方法： 含有一个变量，且自变量的最高次数为 2； 二次项系数不等于 0； 等式两边都是整式 4. 二次函数自变量x的取值范围是全体实数 【二次函数 2 0yaxa的图像及性质】 1. 抛物线 2 yax的顶点是坐标原点（0，0） ，对称轴是0 x （y轴） 2. 函数 2 yax的图像与a的符号关系 当0a 时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a 时抛物线开口向下顶点为其最高点； 3. 抛物线的开口大小与|a有关，|a越大，开口越小；|a越小，开口越大 【二次函数 2 0yaxc a的图像及性质】 1. 顶点坐标：原点（0，c） 2. 对称轴：0x（y轴） 3. 函数caxy 2 的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点； 2 / 11 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. 4. 函数caxy 2 的图像可以看做是由函数 2 axy 的图像向上或向下平移|c个单位得到的； 0c 时，向上平移；0c 时，向下平移 5. c决定了函数图象与y轴的交点坐标：(0)c， 【二次函数 2 0ya xha的图像及性质】 1. 顶点坐标：原点（h，0） 2. 对称轴：xh 3. 函数 2 ya xh的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. 4. 函数 2 ya xh的图像可以看做是由函数 2 axy 的图像向左或向右平移|h个单位得到的； 0h 时，向右平移；0h 时，向左平移 【二次函数 2 0ya xha的图像及性质】 1. 顶点坐标：原点（h，k） 2. 对称轴：xh 3. 函数 2 ya xhk的图像与a的符号关系： 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. 4. 函数 2 ya xhk的图像可以看做是由函数 2 axy 的图像先向左或向右平移|h个单位，在向 上或向下平移|k个单位得到的；当0h 时，向右平移，当0h 时，向左平移；0k 时，向上平 移，0k 时，向下平移 【二次函数 2 0ya xha的图像及性质】 1. 顶点坐标： 2 4 , 24 bacb aa 2. 对称轴： 2 b x a 3. 图象：抛物线 4. 最值： 3 / 11 0a时，函数有最小值 a bac 4 4 2 ；0a时，函数有最大值 a bac 4 4 2 5. 图象与字母之间的关系： a的符号决定了函数图象的开口方向：0a ，图象开口向上，0a 图象开口向下 |a决定了函数图象的开口大小：|a越大，开口越小；|a越小，开口越大 a与b共同决定抛物线对称轴与y轴的位置：左同右异 c决定了函数图象与y轴的交点坐标：0,c 2 4ba c决定了函数图象与x轴的交点情况： 当 2 40bac， 有两个交点； 当 2 40bac， 有一个交点；当 2 40bac，没有交点 当1x 时，可以得到abc的值；当1x 时，可以得到abc的值 4 / 11 【例1】 下列函数中是二次函数的是（ ） A 2 1 23 y xx B 32 32yxx C 2 2 2yxx D 2 2yxx 答案：D 【例2】 若函数 2 2 1 mm ymx 为二次函数，则m的值为_ 【例3】 若函数 232 (1)(1)ymxmx的图象是抛物线，则_m 【例4】 在一幅长80厘米、宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设 整个挂画总面积为y，金色纸边的宽为x，则y与x的关系式是_ 【例5】 已知 2 4 (2) kk ykx 是关于x的二次函数，则_k 【例6】 若 2 221 ()3 mm ymm xm 是二次函数，则_m 【例7】 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是 2 yax； 2 ybx； 2 ycx； 2 ydx则a、b、c、d的大小关系为（ ） Aabcd Babdc Cbacd Dbadc 4 3 2 1 x o y 5 / 11 答案：A 【例8】 已知函数 2 4 2 mm ymx 是关于x的二次函数， 求满足条件的m的值 当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，抛物线的开口方向、增减性如何？ 当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？ 【例9】 函数 2 23yx的图象可以看做是函数 2 2yx的图象向 平移 个单位得到的 答案：向下平移 3 个单位 【例10】函数 2 5yx 的图象可以看做是函数 2 53yx 的图象向 平移 个单位得到的 答案：向上平移 3 个单位 【例11】二次函数 2 23yx 的图象开口 ，当 时，y随x的增大而减小； 答案：向下；0 x 【例12】抛物线 2 25yx的顶点坐标是 ，对称轴是 ； 抛物线 2 3 42yx的开口方向 ，顶点坐标 ，对称轴 是 ，当 时，y随x的增大而增大 6 / 11 【例13】已知直线1yx与x轴交于点A，抛物线 2 2yx 的顶点平移后与点A重合 求平移后的抛物线C的解析式； 若点 11 ,B x y， 22 ,C xy在抛物线 C 上，且 12 1 2 xx，试比较 1 y， 2 y的大小 【例14】已知，抛物线 2 1 31yx的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线 于另一点B 求直线AC的方程 2 ykxb； 求ABC的面积； 当自变量x满足什么条件时，有 12 yy？ 7 / 11 【例15】已知 2 ya xhk是由抛物线 2 1 2 yx 向上平移 2 个单位长度， 再向右平移 1 个单位长度 得到的抛物线 求出a、h、k的值； 在同一坐标系中，画出 2 ya xhk与 2 1 2 yx 的图象； 观察 2 ya xhk的图象，当x取何值时，y随x的增大而 增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值； 观察 2 ya xhk的图象，你能说出对于一切x的值，函数 y的取值范围吗？ 【例16】将下列函数配成 2 ()ya xhk的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值 2 610yxx 2 257yxx 【例17】二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示， 则下列关于, ,a b c之间的关系判断正确的是 （ ） A0ab B0bc C0abc D0abc 答案：D 【例18】抛物线 2 yaxbxc的对称轴是2x ，且经过点3,0P，则abc的值为（ ） A1 B0 C1 D2 O y x x y o x y o 8 / 11 答案：B 【例19】二次函数 2 yaxbxc的图象如图，则不等式0bxa的解为（ ） A a x b B a x b C a x b D a x b 答案：D 【例20】如图， 已知抛物线 2 yaxbxc， 则关于x的方程 2 30axbxc的根的情况是 （ ） A有两个不相等的正实根 B有两个异号实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根 答案：C 【例21】函数 2 2yx， 2 32yx， 2 21yx的_相同 A.形状 B.顶点 C.最小值 D.增减性 答案：A 【例22】已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示， 则在同一直角坐标系中， 一次函数yaxc和 反比例函数 a y x 的图象大致是（ ） 答案：D 【例23】函数 2 yax与yaxb 在同一坐标系的图象可能是（ ） D CBA xO y xO y O y x O y x O y x 3 x y o 9 / 11 答案：B 【例24】二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，则一次函数 2 4ybxbac与反比例函数 abc y x 在同一坐标系内的图象大致为（ ） 答案：D 【例25】抛物线 2 32yxx不经过第_象限 A.一 B.二 C.三 D.四 答案：C 【例26】已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，下列结论：0abc； 0a b c ； 0abc ；20ab，其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B DCB A x O y x O y xO y O y x A y x O B y x O C y x O D y x O x O y 1 y xO 1 -1 10 / 11 【作业1】 抛物线 2 (2)3yx的图象可以看作是由抛物线 2 yx平移得到，则下列平移过程正确 的是( ) A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 答案：B 【作业2】 二次函数 2 365yxx 的图象的顶点坐标是（ ） A( 1 8) ， B(1 8)， C( 1 2) ， D(14)， 答案：A 【作业3】 给出下列四个函数：xy；yx； x y 1 ； 2 xy ，当0x时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：C 【作业4】 已知抛物线cbxaxy 2 的开口向下， 顶点坐标为 （2， -3） ， 那么该抛物线有 （ ） A.最小值 3 B.最大值3 C.最小值 2 D.最大值 2 答案：B 【作业5】 已知二次函数 2 yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc； 1abc；0abc ；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 答案：C 【作业6】 已知二次函数的图象(03x)如图所示关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说 法正确的是( ) Ox y -1 1 1 1 2 3 1 32 1 O y x 11 / 11 A有最小值 0，有最大值 3 B有最小值1，有最大值 0 C有最小值1，有最大值 3 D有最小值1，无最大值 答案：D 【作业7】 已知函数 2 222 ()(32)2 mm ymm xmmxmm ，当m=