01 全等三角形的复习初一竞赛进度一VIP

全等三角形的复习全等三角形的复习 1 / 9 第一讲 全等三角形复习 1.基本知识： 经过平移、翻折或旋转三种变换能够重合的图形称为全等形. 全等三角形是全等形的最简单的情 形. 全等三角形习题的难点，在于寻找具有能判定全等关系的三角形. 2.全等三角形的判定和性质 （1 1）全等三角形的判定 在一个三角形中有 6 个元素，当两个三角形的 3 组元素对应相等时，某些组合一定可以判定两个 三角形全等，某些组合只能判定两个三角形相似，而某些组合在一些附加条件下才可以判定全等. 1)1) AAA： 两个三角形相似，但不一定全等； 2)2) AAS： 可以； 3)3) ASA： 可以； 4)4) SAS： 可以； 5)5) SSS： 可以； 6)6) SSA： 不一定. 反例可通过等腰三角形来构造； 7)7) SSA 加强版： 当对应相等的角是直角或钝角时， 可以判定全等， 例如直角三角形中的 HL. 全等判定中，特别强调“对应” ，若两个三角形虽有 3 组元素相等，但这些元素并不对应，是不能 得到全等的结论的. 下面给出证明中的常见思路图： SAS SAAAS ASA AAS AA ASA SSS SS SAS 全等三角形的复习全等三角形的复习 2 / 9 （2 2）全等三角形的性质 1)1) 3 组对应边相等； 2)2) 3 组对应角相等；作高：从角分线上的一点向角的两边作垂线段； 3)3) 更任意地，全等三角形的任何对应元素都相等，例如：对应的高、中线、角分线等. 3.等腰三角形的判定和性质 （1 1）等腰三角形的判定 1)1) 有两条边相等的两个三角形； 2)2) 等角对等边； 3)3) 两线合一：三角形一个内角的角分线、对边中线、对边上的高的其中两条重合时，这个 三角形一定是以该角为顶角的三角形. （2 2）等腰三角形的性质 1)1) 等边对等角； 2)2) 三线合一. 4.等边三角形的判定和性质 （1 1）等边三角形的判定 1)1) 三边相等的三角形； 2)2) 三个内角都相等的三角形； 3)3) 有一个内角是 60的等腰三角形. （旋转中的应用） （2 2）等边三角形的性质 1)1) 三边都相等； 2)2) 三个内角都相等. 5.基本的全等模型及其辅助线： 初学全等时，要能够准确读图，迅速找到基本的全等模型，为解题打开突破口. 常见的全等 模型有：等腰梯形、三角形沿一边的翻折、一线三等角（三垂直） 、三角形的双高、三角形绕某一 顶点的旋转、三角形外接等边三角形等. 6.二次全等 题目中首先要先通过一组全等得到新的对应关系，再导出第二次全等. 第一次全等证明结束 后，必须顺势推导出足够多的对应的等量关系. 7.常用辅助线 （1 1）条件中出现中点 倍长中线：构造两组全等三角形和一个平行四边形，转移边和角； 中点在直角三角形斜边上：联结中点和直角顶点，利用斜边中线性质； 构造中位线：再找到或作出新的中点，形成中位线再解题. 全等三角形的复习全等三角形的复习 3 / 9 （2 2）条件给出角分线 翻折：沿着角分线翻折角的某一边，这种技巧经常出现在截长补短中； 作高：从角分线上的一点向角的两边作垂线段； 作平行线：从角分线上的一点作角一边的平行线，可以立得等腰三角形. （3 3）条件给出高 题目中一定有很好的角度关系； 多条高提示要通过面积法转化. （4 4）构造等腰或等边三角形； 中线、角分线和高有两线合一：提示要补出等腰三角形，并通过全等证明之.； 在已有的等腰或等边三角形之外，补出新的等腰或等边三角形. 特别是题目中含有 60 或 120时，常常可以将图形补成等边三角形. 全等三角形的复习全等三角形的复习 4 / 9 【例题【例题1】判断以下各组的两个三角形是否全等，能判定全等的说明理由，不能判定全等的给出反例. 1) 有两组角相等和一组边相等的两个三角形； 2) 两边及一边所对的角对应相等的两个三角形； 3) 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形； 4) 两边及第三边上的高对应相等的两个三角形； 5) 两个直角三角形，斜边和一直角边对应相等； 【例题【例题2】已知：AB = AC，DB = DC，F 是 AD 延长线上一点. 请你说明 BF = FC 的理由. 【例题【例题3】如图，已知A=C90，AB=BC. 试证明：AD=CD. B C A D 全等三角形的复习全等三角形的复习 5 / 9 F ED C A B D E AF B C 【例题【例题4】已知 BD = CE，ADC =AEB. 证明：AD = AE. 【例题【例题5】如图，AF = CD，BC = FE，AB = ED，A =D. 求证：BCFE. 【例题【例题6】如图，凸四边形 ABCD 中，A=C，B=D. 试证明： （1） ABCD 且 ADBC； （2） AB=CD 且 AD=BC. A D B C 全等三角形的复习全等三角形的复习 6 / 9 F D B A E C 【例题【例题7】ABC 中，已知 AB=AC，D 是 AC 边上一点，E 是 AB 延长线上一点，连接 DE 交 BC 于点 F. 若 CD = BE，证明：F 是线段 DE 的中点. 【例题【例题8】RtABC 中，BAC = 90，AB=AC，D 是 BC 中点. E、F 分别是 AB、AC 边上的动点， 且满足EDF = 90. （1） 试证明： EDA FDC； （2） 试判断线段 BE、EF、FC 组成的三角形的形状（按角分）. 【例题【例题9】ABC 中，AB=AC，D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上，且有EDF=B，BE=CD. G 是 EF 的中点. 试证明：EFGD. G E F B A C D 全等三角形的复习全等三角形的复习 7 / 9 E D B A C D A C O B 【例题【例题10】如图，锐角ABC 中，B=2C，AD 为 BC 边上的高，求证：DC=AB+BD. D A B C 【例题【例题11】ABC 中，AB=AC，BDBC，且 BD=BC. DBC 的平分线交 AC 于点 E，连接 DE. 试 说明 DEAB 的理由. 【例题【例题12】两个不全等的直角三角形OAB 和OCD 的直角顶点都是点 O，且 OA=OB， OC=OD. 如 图所示，连接 AD，BC. 证明：AD = BC 且 ADBC； 全等三角形的复习全等三角形的复习 8 / 9 AD B E C Q D C B A P Q D C P A B 【例题【例题13】如左图，已知点 P 是线段 AB 上的动点（P 不与 A，B 重合） ，分别以 AP、PB 为边向线段 AB 的同一侧作正APC 和正PBD （1） 证明：BC = AD （2） 连结 AD、BC，相交于点 Q，设AQC ，那么 的大小是否会随点 P 的移动而变化？ 请说明理由； （3） 如右图，若点 P 固定，将PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180） ，此时 的 大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 【例题【例题14】四边形 ABCD 中，ADBC，B=60 ， DEC 是等边三角形. 试证明：AB=BC. 全等三角形的复习全等三角形的复习 9 / 9 2 1 B A A B C D C B A E D C