04 几何著名的定理2015年寒假 初二数学竞赛进阶进度一班学生

几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 1 / 7 第四讲 几何著名定理（梅氏、赛瓦定理） 【梅涅劳斯定理】 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的他指出：如果一条直线与 ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，那么1 EA CE DC BD FB AF 【梅涅劳斯定理的逆定理】 若有三点 F、 D、 E 分别在ABC 的边 AB、 BC、 CA 或其延长线上， 且满足1 EA CE DC BD FB AF ， 则 F、D、E 三点共线利用这个逆定理，可以判断三点共线 【数学意义】 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算， 其逆定理还是可以用来解决三点共线、 三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用梅 涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理 【塞瓦定理】 在ABC内任取一点O直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F， 则1 B DC EA F D CE AF B 等价叙述：ABC 的三边 BC，CA，AB 上有点 D，E，F，则 AD，BE， CF 三线共点的充要条件是1 FB AF EA CE DC BD ，这点称为三角形的塞瓦点 O F E D CB A 几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 2 / 7 【塞瓦定理的逆定理】 如果有三点F、D、E分别在ABC 的三边 AB，BC，CA 上，且满足1 EA CE DC BD FB AF ，那么 AD， BE，CF 三线交于一点（图 1）或平行（图 2） 注1、利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点，如证明三角形三条高线必交于一点；三角形三条中线 交于一点等 O F E D CB A 图 1 B C A D F E 图 2 几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 3 / 7 【例题1】 如图， 点 D 在ABC的 AC 边上， E 在 CB 的延长线上， 且 AD=BE， 求证：EF BCAC FD 【例题2】 如图，D、F 分别是ABC边 AB、AC 上的点，且 3 2 FA CF DB AD ，DF 交 BC 边的延长线于 E 点，求 EF：FD 的值 【例题3】 已知如图，ABC中，BD：DC=CE：EA=2：1，AD 和 BE 交于 F，求 AF：FD 的值 【例题4】 如图，已知 AD 是ABC 的 BC 边上的中线，F 为 AB 上一点，CF 交 AD 于点 E 求证： FB AF ED AE2 E F D C B A 几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 4 / 7 【例题5】 如图，D、E、F 分别是ABC的边 BC、CA、AB 的三等分点中靠近 B、C、A 的一个分 点，且 AD、BE、CF 交成LMN，求证： 7 1 ABC LMN S S 【例题6】 如图，D、E 为 BC 的三等分点，F 为 AC 的中点求：BP：PQ：QF 【例题7】 如图，M、N 分别为ABC中 AB、AC 边上的点，且有n BN CN m BM AM ,，MN 与中线 BD 交于 O，求 BO DO 的值 【例题8】 已知：AD 为ABC 的中线，E、F 分别为 AB、AC 边上的点，且 AE=AF，连 EF 交 AD 于 M求证： AB AC MF EM M F D A B C E 几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 5 / 7 【赛瓦定理】 【例题9】 已知：ABC 内角平分线 AD、BE、CF 与对边分别交于点 D、E、F 求证：三角形三条内角平分线交于一点 （用塞瓦定理的逆定理证明） 【例题10】 已知：ABC 三边上的高线 AD、BE、CF 与对边分别交于点 D、E、F 求证：三角形三条高线线交于一点 （用塞瓦定理的逆定理证明） 【例题11】 已知ABC，向外作长方形 ABDE、ACFG、BCHK，又设直线 DE 与直线 GF 交于 P，直 线 DE 与直线 KH 交于 Q，直线 KH 与直线 GF 交于 R，则 AP、BQ、CR 共点 【例题12】 已知ABC中，AD、BE、CF 是角平分线，则 120BAC当且仅当DFDE A E D B Q KH R C F G P F E D CB A F E DCB A B F D C E A 几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 6 / 7 【例题13】 如图，AM 是锐角ABC的角平分线，ABME 于点 E，ACMF 于点 F，CE 与 BF 交于点 P，求证：BCAP 【例题14】 ABC中，D、E、F 分别在边 BC、CA、AB 上，且 AD、BE、CF 共点于 PD也在 BC 上，且 DD与 BC 的中点重合，同理定义 E、F求证：AD、BE、CF也共点 【例题15】 一个三角形的一边上的高、第二边上的中线与第三边上的角平分线交于一点，这个三角 形一定是正三角形吗？ P F C DM B E A 几何几何著名著名定理定理（梅氏、梅氏、塞瓦定理）塞瓦定理） 7 / 7 1. 设等腰直角三角形 ABC，90A，E 是 AC 中点，D 在 BC 上，BEAD ，求证： CEDAEB （试用梅氏定理证明） 2. 设 D 是锐角三角形 ABC 的边 BC 上的一点， 3 2 DC BD ，E 是边 AC 上的一点， 3 4 EC AE ，AD 与 BE 相交与点 F， 求： FE BF FD AF 3. 在ABC 中，EFBC，BE，CF 交于点 OAO 延长线交 BC