第5讲-函数的奇偶性对称性周期性(师)

第5讲 函数的奇偶性对称性周期性 2017.3.26一、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为偶函数；如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，则称函数为奇函数。2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。3.常用性质(1)是既奇又偶函数； (2)奇函数若在处有定义，则必有； (3)偶函数满足； (4)奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；(5)除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数(6)任何函数可以写成一个奇函数和一个偶函数的和。4.复合函数的奇偶性。性质1、复数函数为偶函数，则; 复合函数为奇函数，则.性质2、复合函数为偶函数，则; 复合函数为奇函数，则.性质3、复合函数为偶函数，则关于直线xa轴对称。 复合函数为奇函数，则关于点(a,0)中心对称。练习:1.已知函数是定义在R上的偶函数. 当时，则当时， 2.已知定义域为的函数是奇函数(1)求的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；3.已知函数，若为奇函数，则_。4. 已知在（1，1）上有定义，且满足证明：在（1，1）上为奇函数；5.若奇函数满足，则_二、函数的对称性1.函数自对称（1）关于轴对称的函数（偶函数）的充要条件是（2）若函数关于点对称，则以下四式成立且等价： 是奇函数（3）若函数关于直线对称，则以下四式成立且等价： 是偶函数（4）如果函数 对于一切xR, 都有f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数的图像关于直线x=对称（5）如果函数对于一切xR, 都有成立, 则函数图像关于点对称2.两个函数的图象对称性（1）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（2）与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（3）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（4）与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。（5）关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。（6）与关于直线对称。若,则函数的图象关于点对称;3.几个常见的函数方程（1）正比例函数,.（2）指数函数,.（3）对数函数,.（4）幂函数,.三、函数的周期性定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，则的最小正周期为T，T为这个函数的一个周期（说明：nT也是的周期）注意：关于函数的周期性的几个重要性质：1.如果函数是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么2.如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期，如果函数的最小正周期为T则函数的最小正周期为，如果是周期函数，那么的定义域无界3.若是周期函数，T是它的一个周期，说明：nT也是的周期推广：若，则是周期函数，是它的一个周期4.定义在R上的函数图象关于直线和对称，则是周期函数，是它的一个周期推论：若定义在R上的偶函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期5.定义在R上的函数图象关于点和点对称，则是周期函数，是它的一个周期推论：若定义在R上的奇函数的图象关于点 对称，则是周期函数，是它的一个周期6.定义在R上的函数图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它一个周期推论：若定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，则是周期函数，是它的一个周期7.若a是非零常数，对于函数定义域内的任一变量x，有下列条件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期：； 8.，则的周期T=3a9.则的周期T=4a；例1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.【考点分析】本题考查函数的周期性解析：得，假设因为点（，0）和点（）关于对称，所以因此，对一切正整数都有：从而：。本题答案填写：0例2.已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）（B）（C）（D）解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，b+c0，c+a0，证明：f（a）+f（b）+f（c）0。（12分）解： f（x）是定义域R上的奇函数且为增函数。由a+b0得a-b，由增函数f(a)f(-b)，且奇函数f（-b）=-f（b），得f（a）+f（b）0。同理可得f（b）+f（c）0，f（c）+f（a）0。相加得：f（a）+f（b）+f（c）0。例9设函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的，有，试判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论。（12分）解：，设，则，f（-x）=-f（x）；又f（x）的定义域关于原点对称，f（x）为奇函数。例10.设是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时，_例11.设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时1 求证：是周期函数；2 当时，求的解析式；(3)算：例12.已知f (x)是定义在实数集上的函数，且则f (2005)= .例13.已知是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，则f(7.5)=_当堂练习:1.定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,则_。2.已知函数满足，则图象关于_对称。3.函数与函数的图象关于关于_对称。4.设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。5.设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于_对称。图象关于_对称。6.设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于_对称，关于_对称。7.已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、188.已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根附参考答案：y轴即：y轴：C：方程的根为共9个根作业：1.是定义在R上的偶函数，图象关于对称，对任意，有，且求； 证明：是周期函数；2是定义在R上的奇函数，且对一切，恒有求证：是周期函数；若，求的值。3.若存在常数，使