6第六章 FIR数字滤波器的设计.ppt

第六章FIR数字滤波器的设计，6-1FIR数字滤波器的性质，6-2FIR滤波器的窗函数设计，6-3FIR滤波器频率采样法的6-4FIR滤波器的等纹波优化设计，6-1FIR数字滤波器的性质，单位冲激响应的Z变换h(n)(h(n)为实数，长N)为(6-1-1)，它是Z-1的N-1多项式，Z平面上有N-1个零点，原点有N-1个多极子。如第4.3节所指出的，如果h(n)满足以下偶对称和奇对称条件，则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。滤波器的线性相位特性如下(6-1-2)，1。线性相位特性，甚至对称情况下-h (n)=h (n-1-n)，因为，那么，即(6-1-3)，(6-1-4)，那么，(6-1-5)，因此，它的求和项都是实数，(6-1-6)，那么，(6-1-7)，其中幅度函数是标量函数并且可以是正的或负的；相位函数是线性函数，并且通过原点具有严格的线性相位特性。如图所示，(6-1-8)，奇数对称情况-h (n)=-h(N-1-n)，在公式(6-1-4)中，h(N-1-n)被替换为h(N-1-n)，这是得到的，那么H(z)可以被写成，(6-1-9)，所以存在，(6-1-10)，这是从公式(6-1-6)、(6-1-11)、(6-1-12)得到的，并且该相位特性也是严格的直线，但是相位特性如图所示，它表明相位特性不仅具有一个采样周期的延迟，而且对通过滤波器的所有频率分量产生90的相移。通过将等式(6-1-8)和(6-1-12)代入等式(6-1-6)，我们可以发现群延迟是，因此，无论它是奇数对称还是偶数对称，群延迟是恒定的并且是采样间隔。(6-1-13)，2。在四种情况下讨论了线性相位FIR滤波器的幅频特性。第一种情况：偶数对称，n取奇数。因此，公式中的每个项都等于对称项。(6-1-7)，合并相等的项，因为n是奇数，余数是中间数，因此，顺序，然后是，上面的公式是(6-1-14)，其中，(6-1-15)，(6-1-16)，第二种情况：偶数对称，n是偶数，并且推导与前面的情况相同，因为n是偶数和余数，所以公式(6-1-7)合并，顺序，获得，并且不存在，并且上面的公式是(6-1-16 因此这种在那个时候，z=-1是零点，并且因为对是奇数对称的，所以对也是奇数对称的。 第三种情况：奇数对称，n是奇数，因为h(n)对是奇数对称，那么就有，推导方法类似于前面的一种，它是从方程(6-1-11)、(6-1-18)、(6-1-19)中得到的。这种情况甚至不适用于对称滤波器，例如低通和高通滤波器。等式(6-1-18)表明，在那个时候，等于在z=1和z=-1处有两个零，因为对是奇对称的，所以对也是奇对称的。情况4:奇数对称，n是偶数，由公式(6-1-11)、(6-1-20)、(6-1-21)获得。这种情况甚至不适用于对称滤波器，例如低通滤波器。公式(6-1-20)表明，在那个时候，等于在z=1处有一个零点，因为对是奇对称的，对是偶对称的，所以对是奇对称的，对是偶对称的。表6-1-1是上述四种线性相位滤波器的相位对应、时域振幅对应和频域振幅对应的示意图。参见教材P202、3。线性相位FIR滤波器的零点特性由方程(6-1-4)和(6-1-9)得到。如果它是零点，它也是零点。如果h(n)是实数，而H(z)是具有实系数的多项式，那么它应该是共轭对和零。因此，对于实线性相位FIR滤波器，其零点是相对于单位圆的镜像共轭对。4。IIR滤波器与FIR滤波器的比较、FIR滤波器的优点、FIR滤波器可以严格地使线性相位或群时延恒定，而IIR滤波器只能近似线性相位。FIR滤波器是一种零点滤波器，它总是稳定的，不会由于滤波操作中的舍入误差而引起极限环振荡。对于相同幅度的滤波器，用FIR滤波器实现需要更高的分段数，比用IIR滤波器要高510倍。当滤波器的特性要求较高时，采用FIR滤波器实现，滤波过程需要更多的计算时间。FIR滤波器的主要缺点是6.2FIR滤波器的窗函数设计，FIR滤波器的设计问题是寻找一个系统函数使其频率响应接近滤波器要求的理想频率响应。如果要求FIR滤波器具有线性相位特性，则h(n)必须满足上一节中描述的对称条件。6.2.1窗函数设计的基本方法，设计思路：从时域出发，设计h(n)逼近理想hd(n)，将理想滤波器的单位脉冲响应设为hd(n)，则有(6-2-1)、(6-2-2)，所得结果一般长度无穷大，无因果关系。为了得到一个因果有限长滤波器h(n)，最直接的方法是截断，或者加窗函数，即(6-2-3)，所以选择窗函数的形状和长度是窗函数法的关键。下面以理想低通滤波器为例，说明理想低通滤波器的设计过程，理想低通滤波器的频率响应设为，c为滤波器的截止频率；A是延迟常数，对应的单位脉冲响应是以A为对称中心的偶对称无限非因果序列。(6-2-4)、(6-2-5)，图6-2-1为理想低通滤波器的单位脉冲响应和矩形窗口削波，为获得有限长度h(n)，最简单的方法是用矩形窗口w(n)=RN(n)截断hd(n)。根据线性相位滤波器的要求，h(n)必须均匀对称，如上图所示。对称中心必须等于滤波器的延迟常数，即(6-2-6)和(2)吉布斯效应。由于频率响应是单位脉冲响应的傅里叶变换，矩形窗截取后滤波器的频率响应可以如下得到：上述公式是有限的，所以n越大，误差越小。然而，对于矩形窗口拦截，所谓的吉布斯效应仍然存在，这使得滤波器的特性非常差，不能满足实际需要。从频域卷积的角度分析了矩形窗口滤波器的频率响应。根据复卷积定理，矩形窗的频率响应设置为，(6-2-8)，其中矩形窗的幅度响应设置如下图所示，图6-2-2中矩形窗的幅度响应设置为，主瓣、旁瓣和旁瓣设置为理想低通滤波器的频率响应，然后，(6-2-9)，代入(6-2-8)和(6-2-9)得到， 如果用它来表示所设计的低通滤波器的幅度响应，那么，上述公式表明，所设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应和理想低通滤波器的幅度响应的卷积。 该过程如下图所示。(6-2-10)，图6-2-3矩形窗经过矩形窗处理后的卷积过程对理想频率响应有两个影响：1)在理想频率特性的不连续点=c处形成一个过渡带，过渡带的宽度等于矩形窗频率响应WR主瓣的宽度=4/n；2)在截止频率c两侧(即过渡区两侧)=c2/n处，H()具有最大的肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡速度取决于WR()波动的速度。如果截距长度n增加，主瓣附近窗口的频率响应如下：随着x增加(即n增加)，函数曲线的波动频率增加，主瓣的幅度增加，旁瓣的幅度也增加。主瓣与旁瓣的相对比值保持不变。该相对比值由sinx/x决定，即由矩形窗口函数的形状决定。因此，当长度N增加时，只有跃迁带宽(4/N)会减小，并且肩峰的相对值不会改变。在矩形窗口的情况下，最大相对肩峰值为8.95%，当N增大时，4/N减小，波动振荡变得更加密集，但最大肩峰值始终为8.95%，这是吉布斯效应。窗口频谱中肩峰的存在影响了H()通带的平坦度和阻带的衰减，使得阻带的最小衰减只有大约6.2.2通用窗口功能1。巴特利特窗，(6-2-11a)，(6-2-11b)，其频率响应为，主瓣的宽度为()。2.汉宁窗，也称为升余弦窗，(6-2-12a)，(6-2-12b)，其频率响应和幅度响应分别是三个矩形窗的幅度响应的移位加权和。旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣的宽度是矩形窗口的两倍，即()。3.汉明窗，也称为改进升余弦窗，(6-2-13a)，(6-2-13b)，具有与汉宁窗相同的幅度响应，但旁瓣幅度较小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。4。布莱克曼窗，也称为二阶升余弦窗，(6-2-14a)，(6-2-14b)，有一个振幅响应，其窗函数包含余弦的二次谐波分量。通过添加余弦的二次谐波分量，旁瓣可以进一步减小，但其主瓣宽度变得。下图是当N=31时，矩形窗、三角形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗五种窗函数的包络曲线。图6-2-45窗口函数的包络曲线。下图显示了四个窗函数的振幅响应：矩形窗、汉宁窗、汉明窗和当N=51时的布莱克曼。图6-2-54显示了窗口函数的振幅响应。下图显示了用矩形窗口、汉宁窗口、汉明窗口和布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应。图6-2-6显示了用窗口法设计的低通滤波器的单位脉冲响应和幅度响应(N=5)。5.凯泽窗(6-2-15)，以及图6-2-7的凯泽窗。如果阻带的最小衰减表示为=-20lg s，则可使用以下经验公式来确定，(6-2-16)。如果滤波器通带和阻带的纹波相等，即p=s，则滤波器段数可由下式(6-2-17)、(6-2-18)确定，其中p和s分别是数字低通滤波器的通带侧频率和阻带侧频率。6.2.3几种常见的理想滤波器1。理想高通滤波器，频率响应：单位脉冲响应：(6-2-19)，(6-2-20)，频率响应：单位脉冲响应：(6-2-21)，(6-2-22)，2。理想带通滤波器，频率响应：单位脉冲响应，(6-2-23)，(6-2-24)，3。理想的带阻滤波器，如低通滤波器，需要被长度为n的窗函数截断，以获得有限长度。根据线性相位滤波器的要求，它必须是偶对称的，并且滤波器的延迟常数，因为线性相位滤波器的幅度响应和相位响应都是，同时，为了保证高通和带阻滤波器的可实现性，n必须是奇数，所以必须是整数。4.理想线性相位线性差分滤波器，频率响应：(6-2-25)，(6-2-26)，(6-2-27)，幅度响应：相位响应：因为线性差分滤波器的幅度随频率线性变化，所以它关于w=0是奇对称的。为了实现线性相位特性，其单位脉冲响应是奇对称的，节点数n是奇的。单位脉冲响应：(6-2-28)，5。理想线性相位希尔伯特变换器，希尔伯特变换器的频率响应，单位脉冲响应，因此上述公式变为，此时实际相位响应为：(6-2-30)，(6-2-29)，6.2.4总结和窗函数法的例子，根据频率采样定理，和之间的关系为：利用窗函数设计FIR滤波器的过程可以概括如下：利用方程(6-2-2)，理想单位脉冲响应可以由给定滤波器的幅频响应参数获得。方程(6-2-31)的积分。如果闭合或不通过等式(6-2-2)计算，两者之间等间隔的采样m可由以下等式(6-2-2)代替。例如6-2-1，线性相位FIR数字低通滤波器可以设计成截止频率、过渡带宽度和阻带衰减dB。(2)选择窗函数并估计节点数n。仅从阻带衰减的要求中，可以选择分贝、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗或凯西窗。如果考虑滤波器节点数最小的原则，可以选择汉宁窗或汉明窗。由此可以发现，N=21也是理想的，此时实际的转换带宽将是：3)确定延迟值，4)使用汉宁窗，找到，5)找到频率响应，其幅度-频率响应和相位-频率解决方案：1)确定节点数N，60dB，然后得到节点数N。对于高通滤波器，N必须是奇数，因此取N=27。2)计算盒式窗函数，并将获得的和N值代入下式，3)确定延迟值，4)计算理想高通单位脉冲响应，5)计算高通数字滤波器的单位脉冲响应，其幅频响应和相频响应如下图所示，实施例6-2-3分别使用矩形窗和布雷克曼窗设计线性相位的希尔伯特变换器，取N=29。解决方案：1)计算对称中心：2)根据公式(6-2-9)计算理想希尔伯特变换器的单位脉冲响应；3)取矩形窗口，根据公式(6-2-14a)计算实际希尔伯特变换器的单位脉冲响应；4)根据布莱克曼窗对称计算实际希尔伯特变换器的单位脉冲响应；从以上分析和实例可以看出，图6-2-10中设计的矩形窗口(N=29)的希尔伯特变换器和图6-2-11中设计的布莱克曼窗口(N=29)的希尔伯特变换器，窗口法设计的最大优点是非常简单实用，其频域特性容易满足要求。缺点是，在大多数情况下，设计频率响应的边界频率不能严格控制，用窗函数法设计的滤波器长度往往大于等波纹优化设计的滤波器长度。根据频域采样定理，FIR数字滤波器的传输函数H(z)和单位脉冲响应h(n)可以由其n个频域采样值H(k)唯一确定。(6-3-1)、(6-3-2)，假设待设计的FIR数字滤波器的频率响应为，从频域到频域，理想频率响应为等间隔n点，(6-3-3)，采样得到，(6-3-4)，根据频域采样判定理由Hd(k)计算出H(z)或h(n)，流程如下：2，设计过程及公式如下，为了使所设计的滤波器成为线性相位滤波器，频率响应一般来说，给定的理想滤波器的幅度响应只给出范围频率采样的幅度值，所以上述公式中的k只能取0到N/2的(N/21)点，而另一个(N/2-1)点(从N/2-1到N-1)必须根据线性相位的奇偶对称条件得到。下面以偶对称条件h(n)=h(N-n-1)为例说明设计公式。假设h(n)的频率响应为(6-3-5)，即振幅响应(6-3-6)，h (k)，k=0，1。n-1是通过等间隔在n个点采样获得的。对于线性相位滤波器，相位响应为，所以，如果N为奇数，为偶数，则频率采样的