传染病模型及其应用

本 科 毕 业 论 文 题 目 传染病模型及其应用 院 部 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 评阅教师 班 级 姓 名 学 号 2013年 5月 1日目 录摘要IAbstract:I1 引言12 模型建立12.1 SARS模型的基本假设22.2 模型一，SIR模型22.3 模型二，基于SIR的改进模型33.模型求解43.1 SIR模型的求解43.2改进SIR模型求解54结果分析65模型的改进与推广6结束语6参考文献6致谢8内江师范学院本科毕业论文摘要：用数学模型帮助发现传染病的传播机理来预测传染病的发展趋势已成为控制和预防传染病的主流方法，“非典”给我国社会的发展和人民身体的健康带来了不可估量的损失,如何进行有效的防治,一直是我国理论专家和实践工作者普遍关心的问题，本文以经典的传染病模型（SIR模型）为参考，在其基础上进行改进，将总人口划分为以下五类：健康人、疑似患者、病人、感染后治愈、感染后不治身亡.以此建立一个新的SARS模型，该模型描述了各类人数随时间变化的变化规律.通过数值模拟，以及插值的方法，运用Matlab软件，分别求解出疑似患者和病人的日接触率，日治愈率和日死亡率.通过曲线拟合发现与实际数据非常吻合.本文最后还通过对参数隔离的扰动方式发现隔离措施对整个“非典”疫情的控制起着关键性的作用:隔离强度越大,采取隔离措施的时间越早,累计患病人数就越少,疫情就能越早受到控制.关键字：SIR模型；数值模拟；插值；参数隔离扰动Abstract: SARS to Chinas social development and peoples physical health has brought immeasurable loss, how effective prevention and treatment, has long been the theoretical experts and practitioners are generally concerned about the problem, this paper, the classic epidemic model (SIR model) as a reference, based on its improvement, the total population is divided into the following five categories: healthy people, suspected patients, patients cured after infection after infection and died. in order to establish a new model of SARS, the model describes the various types of time-dependent changes in the number of law by numerical simulation, and interpolation methods, the use of matlab software, respectively, to solve the suspected contact with patients and patients on the rate cure rate and daily mortality ., by the curve fitting the actual data found in good agreement with this paper and finally through the parameter perturbation method that isolated quarantine measures for the entire SARS epidemic control plays a key role: the greater the intensity of isolation, quarantine measures taken sooner , the less the cumulative number of patients, the sooner the epidemic under control.Key words: SIR model；numerical simulation；interpolation； parameters of isolated disturbancesI内江师范学院本科毕业论文1 引言人类历史上曾多次遭受危害及其严重的传染病的威胁。近几年发生的一些传染病，如非典型性肺炎（SARS），高致病性禽流感（H5N1），甲型（H1N1）流感等，均对生命健康和社会生活造成了很大影响1。特别是在2002年冬到2003年春天，SARS传染病突然侵袭了大半个中国,给国民经济和人民的正常活动都造成了很大的影响，由于人们对此种传染病的传播机理还不太清楚，因而一度引起了人们心理上的恐慌。因此，预防和控制传染病的研究就显得极其重要。其实对传染病的描述和预测是人们由来已久的话题，最早使用的完全是总结经验型的统计方法。在漫长的研究过程中，人们不断地吸收最新数学和物理成果，使统计方法不断得到改进，因此这种曾在历史上起过很大作用的方法直到今天仍然是重要的研究手段2。目前，对传染病的研究有4 种方法：描述性研究3、分析性研究4、实验性研究5和理论性研究6。在理论性研究中，数学模型起着极其重要的作用。它把传染病的主要特征通过假设、参数、变量和它们之间的联系清晰地揭示出来。数学模型的分析结果能提供许多强有力的理论基础和概念。用数学模型帮助发现传染病的传播机理，预测传染病的流行趋势已成为共识。纵观传染病的数学模型研究，我们可把它们分为两类：决定性模型7和网络动力学模型8。目前随着人工智能计算机技术的发展，网络动力学模型成为了新的研究热点9-12，但是决定论模型仍然具有非常重要的学术地位。本文主要就决定性模型介绍了SIR模型及SIR模型的改进。2 模型建立在建模之前，需要对SARS传染病的传播规律进行具体的分析。首先，在不考虑城市流动人口和被隔离人口的情况下，我们将北京市总人口划分为以下五类：人群中染病后不治身亡者、人群中染病后恢复并获得免疫力者、人群中染病者、人群中染病后处在潜伏期者，并且。在SARS病毒在北京的传播初期，病毒的高传染性并未显现，而且人们也没有意识到它的严重性，因而没有采取任何防护措施，小部分人开始被传染并处于潜伏期。当潜伏期过后，病毒开始爆发，此时的患者与人群接触，导致新一批的人被感染并处于潜伏期。当发病过后，部分患者得不到及时的医治而死亡。传染病传播的过程反复无常，难以控制，以至于在较短时间内感染人数会迅速增多。并且，随着时间的推移，发病人数也将不断增加，死亡人数迅速增加。这使得人们对于病毒开始感到恐慌，造成社会的负面影响。这引起了政府及相关部门的重视，并开始采取措施。虽然疫情得到了控制，但由于当时没有有效的抗病毒药物，因此疫情只能通过患者自主愈合和死亡。在该期间内，每天的发病和死亡人数都在不断减少，并最终降为零。根据上述对SARS传播机制的分析结论，建立如下SARS传播机制的流程图。健康人s疑似病人i1治愈r死亡e病人i2潜伏期者i1k2.1 SARS模型的基本假设1）本文主要考察的是北京地区的疫情变化，且考察的时间相对较短，故我们视人口总量不变，不考虑人口的出生率和自然死亡率，即为一常数N.2）将SARS的传播途径视为与病人的有效接触，每个健康人变成病人的途径只能是与病人的有效接触.3）不考虑气候条件对SARS传播的影响.4）为了使模型简化，假设处于同一群体的每个个体与病人的日接触率及有效接触率相同.5）假设SARS疫情的爆发有个初始时间.2.2 模型一，SIR模型在建立改进的SIR模型之前，先对基本的SIR模型进行描述。基于参考文献3中的5.1传染病模型的模型三（SIR），为了简便起见，考虑、为常数，于是我们得到了类似于3中5.1传染病模型的方程组：2.3 模型二，基于SIR的改进模型以上一节基本的SIR模型为基础。首先，根据人群分类情况可得：，表示总的具备传染力的人数比例.设每个疑似病人每天有效接触的平均人数为；每个病人每天有效接触的平均人数为；疑似病人中实际感染了SARS病毒的比例为.则实际具备感染能力的疑似病人人数为：，那么实际具备感染能力的疑似病人每天感染的健康人人数为：.病人人数为：，每个病人每天感染的健康人人数为：.则健康人数每天的增量为：，上式中表示那些为当成是疑似病人但实际上为感染病毒，经过隔离被放回来的人.病人中每天被治愈出院的人数占病人总数的比例为，病人中每天死亡的人数占病人总数的比例为，则死亡人数与治愈人数的变化量分别为：、，则结合以上几式可得出具备传染力的人数增量为：，综上，可建立方程组模型：3.模型求解3.1 SIR模型的求解对于模型一，我们同样无法求出和的解析解，通过将上式消去，可得下列转化方程：其解为：其中，;1）模型的数值模拟解由于参考文献35.1节中对于上式的分析太不直观，因而只能得到i关于s的函数.而和的表达式却很难求出。因此，我们通过参考文献4的数据进行求解。首先，我们假定北京市的人口总量为，。随后，利用matlab软件处理参考文献4中的数据给出的累计治愈出院人数、累计死亡人数、现有的疑似病例数和累计已确诊病例数的具体数字，得到日死亡率=0.00244305，日治愈率=0.05507568，日感染率=0.03908794。从而，得到i关于时间t的函数;最后，以累计已确诊病例数和北京市人口总数N之差得到的健康人总数，由此得到一组健康人数与总人数的比例值。将其作为拟合对象，多项式拟合次数为6次，得：;可得随时间t变化的趋势图（如图1）.再将的拟合函数带入的解析式中，得到关于时间t的函数趋势图（如图2）图1 图2对图2分析可知，患病人数占总人数的比例随着时间的推移在不断减小, 并最终在t=50时降为0, 即至此，SARS病情得到良好控制。最后，我们发现图2中的病人人数占总人数的比例随着时间的推移始终是降低的，即严格的单调递减，这与实际情况不相符合，其原因在于拟合是通过高次多项式拟合的结果, 所以会存在一定的偏差.3.2改进SIR模型求解对于模型二，我们无法求出s(t)和i(t)的解析解.于是，本文根据在网上所收集到的从03年4月份到六月份的病人数，疑似病人数，死亡人数和治愈出院人数为基础4，求解该模型.下图为用Matlab所画的实际数据的散点图：图3由图3可以观察出四类数据的走势情况.本文运用插值拟合的方法，对四类数据分别进行拟合，从而得到两个日接触率的值、以及日治愈率和日死亡率、.4结果分析通过对上述模型的观察可以发现，病人数量与三个参数日感染率、日死亡率和日治愈率的值呈现相关性变化，当增大日死亡率和日治愈率时，病人的数量会减缓增加，但是其变化并不明显.而当增大日感染率时，病人人数的增加将被显著的抑制.于是我们得出隔离措施对整个“非典”疫情的控制起着关键性的作用:隔离强度越大,采取隔离措施的时间越早,累计患病人数就越少,疫情就能越早受到控制.5模型的改进与推广模型二通过从一个景点的微分方程模型入手，建立了针对SARS特点的微分方程数学模型，并通过对数据的处理，得到了SARS传播的日感染率、日死亡率和日治愈率的值，它们是不同时刻各值的平均值，当所给数据间有很大摆动时，就会使模型结果产生很大的误差.可以通过对不同时刻的这些参数进行线性拟合，可以得到三个关于时间的函数、，这样就可以随时间调整它们的值，可以使得模型更好地预测SARS的传播.结束语通过本次对北京市的病毒传播的分析，建立的相关模型，对于以后类似的相关传染病的传播与分析起到相当大的帮助作用，为未来人们预防以及控制传染病病毒起到非常大的帮助作用。参考文献1 黄良英,丘修峰,周昌隆SARS传播的数学模型的建立与分析J南昌大学学报.2 余雷,薛惠锋,李刚传染病传播模型研究J计算机仿真，2007，24(04)：57-603 张发,李璐,宣慧玉传染病传播模型综述J系统工程理论与实践，2011，31(09)：1736-17444 刘华,吴承强两类疾病同时存在的传染病模型的定性分析J福州大学学报（自然科学版），2011，39(02)：160-1665 孙有发,郭旭冲,梁肖肖,刘彩燕,张成科现实复杂情况下得SIRS型传染病模型及其控制策略J系统仿真学报，2010，22(01)：195-2006 肖红江,吴彤,李名科.SARS传播的研究J.工程数学学报.2003,20(7):35-44.7 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