2013适合所有学校必考的自控重点

例1. 已知系统特征方程如下。试用劳斯判据确定系统的稳定性。1. 2. 3. 4. 解:1. 由系统特征方程列写劳斯表由劳斯表可知，第一列元符号全部为正，所以系统稳定，系统特征根均位于左半平面。2. 由系统特征方程列写劳斯表由劳斯表可知，第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。3. 由系统特征方程列写劳斯表因是一个很小的正数，所以，劳斯表第一列元符号变化两次，所以系统不稳定，且有两个根在右半平面；而劳斯表中无全为零的行，故无虚轴上的根；因特征方程为4阶，所以有2个根在左半平面。4. 由系统特征方程列写劳斯表劳斯表的行的元素全为0，所以系统不稳定，有对称于原点的根。以该行的上一行构造辅助方程，并对辅助方程求一阶导数，用所得导数方程的系数继续劳斯表的计算。求解辅助方程 解得 ，因为劳斯表第一列元素符号变化两次，所以系统有两个根在右半平面；由辅助方程有两个根在虚轴上；因特征多项式为6阶，故有两个根在左半平面。考点2 利用奈氏判据判断系统稳定性。例2. 单位反馈的二阶系统，其单位阶跃输入下的系统响应如图所示。要求：1. 确定系统的开环传递函数。2. 求出系统在单位斜坡输入信号作用下的稳态误差。解：1. 由图所示系统的单位阶跃响应曲线，知系统的超调量及峰值时间分别为，。由超调量及峰值时间的计算公式，有解得，rad/s。故系统的开环传递函数为2. 单位斜坡输入信号，即。因二阶系统稳定，故有系统的速度静态误差系数为作用下系统的稳态误差。例3 已知系统的开环传递函数为1. 绘制系统的根轨迹图。2. 为使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式，试确定的取值范围。解:1. 绘制系统的根轨迹。系统的开环传递函数为其中。 系统有三个开环极点：，没有开环零点。将开环零、极点标在平面上。 根轨迹的分支数。特征方程为三阶，故有三条根轨迹分支。3条根轨迹分支分别起始于开环极点，终止于开环无限零点。 实轴上的根轨迹。实轴上的根轨迹区段为,和 渐近线的位置与方向。渐近线与实轴的交点渐近线与正实轴的夹角 分离点和分离角。根据分离点公式解得，（舍去）。不在时的根轨迹上，故应舍去。分离角 。 与虚轴的交点。将代入系统闭环特征方程实部、虚部为零解得，即。根据以上所计算根轨迹参数，绘制根轨迹如图所示。2. 确定的取值范围。与分离点相应的可由模值条件求得由如图可知，使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式的的取值范围为。例4已知单位反馈系统的开环传递函数为 （1）画出系统的根轨迹；（2）确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的 值范围； （3）求产生持续等幅振荡时的值和振荡频率； （4）求闭环主导复数极点具有阻尼比为时的值和闭环极点。解：（1）画根轨迹该系统有三条根轨迹，开环极点为 。 于是，渐近线与实轴交点为 。求渐近线 当 时，。当 时，。求分离点：由开环传递函数知，代入方程 有，不在根轨迹上，舍去。 是分离点，分离角为。根据幅值条件可求出分离点处的增益根轨迹与虚轴的交点 特征方程为劳斯表为当 时，辅助方程为解得 根轨迹如图所示。（2）当 时，系统闭环主导极点为一对共轭复数极点，系统瞬态响 应为欠阻尼状态，阶跃响应呈阻尼振荡形式。（3）当 时，系统有一对共轭虚根，系统产生持续等幅振荡，。（4）阻尼角，解方程或由图可知阻尼角为的主导极点由于 ，因此闭环极点之和等于开环极点之和，另一个闭环极点为根据幅值条件知w/(rad/s)03020540L(w)/dB0020-20-40-60100w1w3w40.1w2例5、某最小相位系统的开环bode图如下，写开环传递函数。解：例6.某单位反馈的最小相角系统，其开环对数幅频特性如图所示，要求求该系统的开环传递函数。例7. 单位负反馈最小相位系统校正前、后的开环对数幅频特性如图所示。1. 求串联校正装置的传递函数。2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益的值。解:1. 求串联校正装置的传递函数。由图知，校正前系统的开环传递函数为式中可由低频段求出校正后系统的开环传递函数为由图知，在时，开环对数幅值dB，即,故根据，则有2. 求串联校正后，使闭环系统稳定的开环增益的值。根据校正后系统的开环传递函数，其相频特性为运用三角公式并整理，得当相角为时，有解得。此时幅值为即将开环增益增大倍，系统处于临界稳定状态。根据频率稳定判据，当即时，对数频率特性曲线不穿越线，系统稳定。例8. 已知系统的开环传递函数为要求校正后系统的静态速度误差系数s1，相角裕度40，截止频率2.3rad/s，试设计串联校正装置。解：1. 确定开环增益。s12. 绘制s1时待校正系统的开环对数幅频曲线如图所示。由图列写直线方程rad/s可见待校正系统不稳定，且截止频率远大于期望值，故选择串联滞后校正。3. 在待校正系统的频率特性曲线上选择频率点，使其满足并将其作为校正后系统的穿越频率。rad/s4. 根据下述关系式确定迟后网络参数和选 由图6-5知即为 s5. 验算。rad/s2.3rad/s全部性能指标均已满足。例9. 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数。（a）（b）图7-4解：图（a）：两个环节间有采样开关，因此有图（b）：两个环节间没有采样开关，因此有例10. 设有单位反馈误差采样系统，连续部分传递函数为输入，采样周期s。试求：（1）输出变换；（2）输出响应的终值()。解：（1）开环脉冲传递函数为闭环脉冲传递函数为（2）输出响应的终值由闭环脉冲传递函数，系统的闭环特征方程为解得，故闭环极点均位于单位圆内，系统稳定。满足终值定理应用条件，故有() 例11、闭环脉冲传递函数采样开关在离散闭环系统中有多种配置方式，求时，一般没有像梅逊公式一样的通用方法，需要根据闭环结构特点，用代数方法或结构图变换方法逐步导出系统的。1