空间曲线及其方程.ppt

第六节空间曲线及其方程,一、空间曲线的一般方程,设有两块曲面S1,S2,它们的方程依次为:,S1:F(x,y,z)=0S2:G(x,y,z)=0,S1,S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此,即为交线C的方程,称为空间曲线C的一般方程.,(1),例1:球面x2+y2+z2=32与平面z=2的交线是一个圆,它的一般方程是,x2+y2+z2=32z=2,解:方程表示球心在原点O,半径为a的上半球面.,方程表示母线平行于z轴的圆柱面.,它的准线xOy面上的圆,圆心在点,所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线.,二、空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x,y,z都表示成一个参数t的函数.,x=x(t)y=y(t)(2)z=z(t),当给定t=t1时,就得到C上一个点(x,y,z),随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,例3:如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中,v都是常数),那末点M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.,解:取时间t为参数,设当t=0时,动点位于x轴上的一点A(a,0,0)处,经过时间t,由A运动到M(x,y,z),M在xOy面上的投影为M(x,y,0).,(1)动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,AOM=t.从而,x=|OM|cosAOM=acost,y=|OM|sinAOM=asint,(2)动点同时以线速度v沿z轴向上升.因而,z=MM=vt,得螺旋线的参数方程,x=acosty=asintz=vt,注:还可以用其它变量作参数.,例如:令=t.为参数;螺旋线的参数方程为:,x=acosy=asinz=b,当从0变到0+是,z由b0变到b0+b,即M点上升的高度与OM转过的角度成正比.,特别,当=2时,M点上升高度h=2b,在工程上称h=2b为螺距.,三、空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0,(3),由方程组(3)消去z后得方程,H(x,y)=0(4),方程(4)表示一个母线平行于z轴的柱面,曲线C一定在曲面上.,以曲线C为准线,母线平行于z轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.,所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.,H(x,y)=0z=0,注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例4:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2=1和x2+(y1)2+(z1)2=1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解:联立两个方程消去z,得,这是母线平行于z轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为,解:半球面与锥面的交线为,由方程消去z,得x2+y2=1,这是一个母线平行于z轴的圆柱面.于是交线C在xoy面上的投影曲线为,x2+y2=1z=0,这是xoy面上的一个圆.,所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y21,四、二次曲面,1.定义:由x,y,z的二次方程:,ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0,所表示的曲面,称为二次曲面.其中a,b,i,j为常数.,研究方法是采用平面截痕法.,2用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆,当|k|c时,|k|越大,椭圆越小;,当|k|=c时,椭圆退缩成点.,2.几种常见二次曲面.,(1)椭球面,1用平面z=0去截割,得椭圆,3类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:,特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.,(2)椭圆抛物面:,1平面z=k,(k0)截割,截线是平面z=k上的椭圆.,k=0时,为一点O(0,0,0);随着k增大,椭圆也增大.,2用平面y=k去截割,截线是抛物线,3类似地，用平面x=k去截割,截线是抛物线.,第七节平面及其方程,一、平面的点法式方程,1.法向量:,若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面的法向量.,注:1对平面,法向量n不唯一;,2平面的法向量n与上任一向量垂直.,2.平面的点法式方程,设平面过定点M0(x0,y0,z0),且有法向量n=A,B,C.,得:,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0,称方程(1)为平面的点法式方程.,(1),例1:求过点(2,3,0)且以n=1,2,3为法向量的平面的方程.,解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:,1(x2)2(y+3)+3(z0)=0,即:x2y+3z8=0,解:先找出该平面的法向量n.,=14i+9jk,例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.,所以,所求平面的方程为:,14(x2)+9(y+3)(z4)=0,即:14x+9yz15=0,二、平面的一般方程,证:A,B,C不能全为0,不妨设A0,则方程可以化为,它表示过定点,且法向量为n=A,B,C的平面.,注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2),称为平面的一般方程.,例2:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.,解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=23,4,2(x+1)3(y2)+4(z3)=0,即:2x3y+4z4=0,2.平面方程的几种特殊情形,(1)过原点的平面方程,由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:,Ax+By+Cz=0,(2)平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=A,B,C与x轴上的单位向量i=1,0,0垂直,所以,ni=A1+B0+C0=A=0,于是:,平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;,平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;,平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.,特别:D=0时,平面过坐标轴.,(3)平行于坐标面的平面方程,平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;,平行于xOz面的平面方程是By+D=0;,平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.,例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.,解:由于平面过x轴,所以A=D=0.,设所求平面的方程是By+Cz=0,又点(4,3,1)在平面上,所以,3BC=0,C=3B,所求平面方程为By3Bz=0,即:y3z=0,例4:设平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程.,解:设所求平面的方程为,Ax+By+Cz+D=0,因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点都在这平面上,于是,aA+D=0bB+D=0cC+D=0,解得:,所求平面的方程为:,即:,(3),三、两平面的夹角,1.定义:两平面的法向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.,若已知两平面方程是:,1:A1x+B1y+C1z+D1=0,法向量n1=A1,B1,C1,2:A2x+B2y+C2z+D2=0,法向量n2=A2,B2,C2,所以,2.平面1与2相互垂直A1A2+B1B2+C1C2=0,平面1与2相互平行,规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.,例6:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.,解:设所求平面的一个法向量n=A,B,C,已知平面x+y+z=0的法向量n1=1,1,1,于是:,A(1)+B0+C(2)=0A1+B1+C1=0,解得:,B=CA=2C,取C=1,得平面的一个法向量,n=2,1,1,所以,所求平面方程是,2(x1)+1(y1)+1(z1)=0,即:2xyz=0,例:设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到这平面的距离d.,解:在平面上任取一点P1(