同济-高等数学-第三版6.1-第一节-微分方程的基本概念

,第六章微分方程,含有未知函数及其导数或微分的方程称为微分方程,通过对微分方程的研究不仅可建立一种确定反映客观事物变化的函数关系的方法，还可通过这类方程的考察深入考察客观事物变化的本质规律。,(1)微分方程问题朔源,函数是客观事物的内在联系在数量方面的反映，利用函数关系又可对客观事物的规律性进行研究。反映事物变化规律的变量间具有函数关系虽然是一种客观存在，但表示这种函数关系的表达式却并不是客观存在的，需要人们去建立。因此，寻求变量间的函数表达式在实践中具有重要意义。,事物变化的数量关系不仅反映在函数值的变化上，还反映在其变化速率上，即反映在函数的导数或微分关系上。因为函数关系反映的是事物变化的总体规律性，有时并不容易建立，而相应的导数或微分关系反映的是事物变化的局部规律性或瞬间的状态，相对容易建立。通过建立和求解含有未知函数导数或微分的方程也可求出函数表达式，这就产生了微分方程的概念及微分方程的研究。,(2)研究微分方程的意义和任务,研究微分方程通常有三个方面的意义或任务：建立所求未知函数所满足的微分方程；讨论微分方程的可解性，并在可解的情形下求出方程的解，即解出满足方程的函数表达式；由方程的解讨论和研究实际问题。,第一节微分方程的基本概念,本节概要,微分方程是关于未知函数的导数或微分的方程，其解一般是一簇函数。由于其未知量的这种形式上的复杂性，使得微分方程的求解较其它方程形式复杂和困难得多，也涉及较多的概念。掌握微分方程的这些基本概念对于理解微分方程的内容和方法是重要的。,例：一曲线C通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任意点处的切线段均被切点平分，求曲线C的方程。求曲线C的方程实际是求曲线C上任意一点M(x,y)的坐标所满足的函数关系式，即求一个未知函数y=y(x).由于问题条件以几何形式给出，故可先借助于几何直观进行分析，再设法将几何条件转化为代数形式。,设所求曲线方程为C:y=y(x)，考虑曲线C上任一点M(x,y)的坐标所满足的关系式。由给定条件有l1=l2.由直观可得,布列方程,由导数的几何意义有tan=tan(-)=-tan于是由几何关系式tan=y/x可得微分方程,求微分方程解的一般形式,从运算角度讲，求解微分方程就是设法消去方程中的导数记号，将微分方程化为函数方程。消去导数记号的基本方法是对其积分，为能够进行积分，需将方程中的未知函数微分与自变量分离开来。由微商概念对方程分离变量有在式子两边积分得,若约定C可取负值，则方程的解可表为由于C可任意取值，方程的上述解还不是一个确定的函数，它实际对应于一簇曲线，为求得所求曲线方程还需设法确定任意常数C的值。因为曲线C通过点(2,3)，将其代入上式解中可求得C=6，于是得所求曲线方程为C:xy=6,求方程满足指定条件的解,由本例曲线方程的求解可看出，直接建立曲线方程是困难的，但却容易建立未知函数的导数方程，通过求解导数方程较方便地求得了曲线方程。由本例方程的解还可看出，微分方程有两种类型的解，一类是具有普遍意义的解，这类解构成一簇曲线，该曲线簇中曲线的共同特点是切线被切点平分。另一类是具有特定意义的解，它是上述曲线簇中通过某定点的一条曲线。,例：以初速v0将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律。求质点的运动规律就是求质点运动时其坐标所满足的方程，即求质点的位置与时间的函数关系式，为此需先根据问题条件建立坐标系。根据问题的实际意义，考虑以质点抛出点为原点，沿铅直向上的方向设置坐标系。设运动初始时刻(t=0)质点位于点x0，在时刻t质点位于点x，则问题归结为求函数关系式x(t).,质点上抛后作加速运动，由于不计阻力，质点仅受重力作用，其加速度为-g.于是根据导数的物理意义有将上式两边积分有再积分一次得,布列方程，求方程解的一般形式,如上求得的是质点作上抛运动的位置函数解的一般形式，为求得此具体问题的解还需确定一般形式解中的任意常数C1,C2.由条件，当t=0时，x=x(0)=x0，将这两个条件依次代入位置函数解的一般形式有于是求得此质点上抛运动的位置函数为,求方程满足指定条件的解,由本例布列方程及方程的求解可看出，实际问题所建立的含有导数或微分的方程可以含有一阶导数，也可能含有二阶或更高阶的导数。由积分求得的微分方程的解得一般形式中通常含有任意常数，其所含任意常数的个数与方程所含未知函数的导数的最高阶数相同。求微分方程满足一定条件的特定意义的解，只需将条件代入方程解的一般形式中确定任意常数即可。,表示未知函数、未知函数的导数或微分及自变量之间关系的方程称为微分方程。微分方程建立后，对它进行研究，找出未知函数来,这就是解微分方程。微分方程中所出现的未知函数的导数最高阶数称为该微分方程的阶。例如，x2y+xy-4y=3x4是三阶微分方程；y(4)-4y+10y-12y+5y=sin2x是四阶微分方程。,(1)微分方程的一般概念,(2)微分方程的阶的概念,求函数f(x)的原函数的问题实际就是解最简单的一阶微分方程y=f(x).一阶微分方程的一般形式为y=f(x,y)或F(x,y,y)=0.二阶微分方程的一般形式为y=f(x,y,y)或F(x,y,y,y)=0.n阶微分方程的一般形式为F(x,y,y,y,y(n)=0.,从方程解的一般概念讲，微分方程的解就是这样的函数，将其代入微分方程能使方程成为恒等式。就二阶微分方程F(x,y,y,y)=0而言，如果有在某个区间I上的二阶可微函数(x)，使得当xI时有Fx,(x),(x),(x)0，那么函数y=(x)就称为微分方程F(x,y,y,y)=0在区间I上的解。,(3)微分方程的解及其相关概念,例如，函数都在区间I上可导，I=(-,0)(0,+)，且在区间I上有故它们都是微分方程的解。,微分方程的解一般不唯一，在微分方程的诸多解中存在两类不同性质的解，一类是具有普遍意义的解，如方程y=-y/x的解y=C/x，它表示切点平分曲线的切线段的曲线簇。另一类是具有特殊意义的解，如方程y=-y/x的解y=6/x，它表示切点平分曲线的切线的线中通过点(2,3)的曲线。从概念上讲，具有某种普遍意义的解就是谓通解的概念，满足特殊条件具有特殊意义的解就是特解的概念。从形式上讲，通解含有任意常数，特解不含有任意常数。,若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。对一阶方程F(x,y,y)=0而言，其通解的形式为y=(x,C).对二阶方程F(x,y,y,y)=0而言，其通解形式为y=(x,C1,C2)一般地，对n阶方程F(x,y，y,y,，y(n)=0而言，其通解形式为y=(x,C1,C2,Cn),微分方程通解的定义,例如，是一阶方程，它的解含有一个任意常数C，因而这是该一阶微分方程的通解。方程是二阶微分方程，它的解含有两个任意常数C1,C2，因而这个解是该二阶微分方程的通解。,任意常数的要求,通解中的任意常数有两个要求，一是可任意取值；二是必需相互独立。所谓相互独立是指不同的任意常数间既不能合并，也不能由其它的任意常数表示或替代。例如，对函数y=(C1+C2)x而言，其形式上含有两个任意常数，而实际只有一个任意常数。因为C1+C2可合并为一个任意常数C，即该函数可等价地写成y=Cx,又如，方程ax+by+c=0中只有两个任意常数，因为a,b,c可合并为两个任意常数，即有函数y=Ae-4x+B中实际只有一个任意常数，因为A、B可合并为一个任意常数C=AeB，即y=Ae-4x+By=AeBe-4x=Ce-4x,微分方程的通解是具有普遍意义的解，它描述的是事物变化的一般规律。由于其间含有任意常数，它不能完全确定事物变化的具体过程。为描述事物变化的具体过程必须确定这些任意常数。通解中确定了任意常数的解称为微分方程的特解。在通解中确定任意常数需要一定的条件，由于通常用物体运动在初始状态时满足的条件来确定任意常数，因此一般将这种条件称为初始条件。,常微分方程特解的定义,初始条件的概念及形式,从解方程角度讲，确定n个未知数需要n个条件。对于一阶方程F(x,y,y)=0，由其通解y=(x,C)确定任意常数C需一个初始条件，这一条件通常写成yx=x0=y0.对二阶微分方程F(x,y,y,y)=0，其通解形式为y=(x,C1,C2)，确定任意常数C1,C2需两个初始条件，这一条件通常写成yx=x0=y0,y|x=x0=y0依此类推可写出一般n阶方程的初始条件的形式。,在许多实际问题中所要求的微分方程的解往往是其满足某种初始条件的特解，这样的问题通常称为微分方程的初值问题。对一阶方程，其初值问题可表为对二阶方程，其初值问题可表为,微分方程的初值问题,通解的几何意义,(4)微分方程解的几何意义,微分方程的通解由于含有任意常数，因而对应于一簇曲线，称之为积分曲线簇。微分方程初值问题的特解对应于通解曲线簇中的一条曲线，通常称之为一条积分曲线。,特解的几何意义,例如，对一阶方程初值问题其通解对应于一簇双曲线xy=C，其中满足初始条件y|x=2=3的特解xy=6，就是双曲线簇中通过点(2,3)的一条积分曲线。,例：验证函数x=C1coskt+C2sinkt是微分方程的通解。由于所论函数含两个任意常数，为验证其是给定二阶方程的通解只需求出其一、二阶导数，再代入方程使方程成为恒等式即可。,将给定函数及求得的二阶导数式代入方程有=-k2(C1