华东师范数学分析--正项级数

定理12.5,2正项级数,收敛性是级数研究中最基本的问题,本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.,三、积分判别法,一、正项级数收敛性的一般判别原则,二、比式判别法和根式判别法,*四、拉贝判别法,一、正项级数收敛性的一般判别原则,正项级数：,un,un0,正项级数敛散性.,即M0,对nN有,部分和数列Sn有界,改变有限项,收敛性不变,定理12.6(比较原则),如果N0,对一切nN都有,证,(i)已证明,(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.,例1,解：,正项级数,收敛,由比较原则得,例Z2若级数,证,根据比较原则得,P16E1(1)(2)(4)(8);37;,在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便.,若,比较原则:,证(i),N0,当nN时,恒有,由比较原则及上式得,同敛散,(un,vn同阶无穷小),证(ii),当l=0时,N0,当nN时,恒有,则=1,N0,当nN时,都有,由比较原则知,由比较原则极限形式(i),得,找:同阶或等价无穷小,比较原则的极限形式得，,解,根据比较原则极限形式知,P16E1(1)(3)(5)(7)(9);P25zE3；4(3),比较原则:,比较对象：等比级数,根据比较原则及上述不等式可得,定理12.7比式判别法(达朗贝尔判别法)设正项级数,若正整数,二、比式判别法和根式判别法,证,N0,当nN时,有,比式判别法的(i),是收敛的.,比式判别法的(ii),是发散的.,比式判别法的(ii),是发散的.,例6级数,解,根据推论1，级数收敛.,题例特点:un含有连乘积,解,根据推论1,当0N,有,N0,题例特点：un含有n次方,解,由根式判别法知，,不能用根式判别法知级数敛散性,例12判别级数的敛散性：,解(ii),题例(ii)特点：un含有n次方，不含阶乘,由根式判别法,原级数为收敛.,P16E2(3)-(7),(ch2总练习题4(7),证,这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数,也能,由根式判别法来判别.,根式判别法较之比式判别法更为有效.,例：级数,解,比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.,由根式判别法知，,P17E12,但有时，比式判别法较之根式判别法更简便.(有价值),根式判别法较之比式判别法更有效.,例11判别级数的敛散性：,解(i),由比式判别法，原级数为收敛.,不宜采用根式法.,题例特点：un含有阶乘，不含n次方,【小结】-正项级数收敛性,根式判别法(柯西判别法),题型特点：un含有n次方,【作业】-P16E2(3)(5)(7);,比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,还需要建立另外一些判别法.,三、积分判别法,证,对A0,fR1,A,%依次相加,若反常积分收敛,若反常积分收敛,f(x)为非负,对正数A,都有,例12讨论,解,上是非负减函数，,由级数收敛必要条件知，,例13讨论下列级数,的敛散性.,解,P16E9,比较原则,比较对象,几何级数：,比式和根式判别法,P-级数：,拉贝(Raabe)判别法,*四、拉贝判别法,p级数的通项收敛于零的速度较几何级数的通项慢,拉贝(Raabe)判别法较比式/根式法在判断级数收敛时更精细.,存在,当s=1,2,时的敛散性.,例14讨论级数,分析:s=1,2,3,用比式判别法无法判别级数的敛散性.,解,当s=1时,(拉贝判别法),级数是发散的.,当s=2时,无法判断级数的敛散性判断,【小结】-正项级数收敛性,1.有界原