《微积分(第四版)》第一章 函数

.,1,微积分,.,2,在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了（恩格斯）,.,3,微积分主编赵树嫄（第四版）中国人民大学出版社,教材：,.,4,同时发明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。,微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿,和德国数学家莱布尼兹,.,5,第一章函数,第一章函数,.,6,(一)集合的概念,第一节集合,把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。,组成集合的那些个体称为集合的元素。,例如全体中国人可组成一个集合，每一个中国人均是这个集合的元素。,通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。,如果a是集合A的元素，则记作aA，读作a属于A；,如果a不是集合A的元素，则记作aA，读作a不属于A。,.,7,常见数集的记号：,自然数集,整数集,有理数集,正整数集,实数集,由有限个元素构成的集合称为有限集，由无限多个元素构成的集合称为无限集。,例如：2N，2.5N，-3N，2.5Q，-3Z。,.,8,(二)集合的表示法,通常集合的表示有两种方法：,(1)列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。,(2)描述法：给定一个条件P(x)，当且仅当元素a使P(a)成立时，aA。其一般形式为A=a|P(a)。,例如上述集合B=a|aN且4a8,又如,例如：A=2,a,b,9,B=4,5,6,7,8,.,9,集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。,.,10,(三)全集与空集,不含任何元素的集合称为空集，记为。,在研究某一问题时，如果所讨论的集合都是某一集合的子集，则称此集合为全集，记作U.,.,11,(四)子集,如果集合A的元素也是集合B的元素，则称B包含A，或称A是B的子集，记作：,如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作,如果集合A和B互相包含，即AB且BA，则称A和B的相等，记作A=B。,.,12,对任一集合A，有,常用数集：,.,13,(五)集合的运算,1、并集,例如，,则,基本性质：,.,14,2、交集,例如，,则,基本性质：,.,15,3、差集,例如，R-Q表示全体无理数组成的集合。,基本性质：,.,4、补集,其中U为全集。,例如，,则,基本性质：,.,17,(六)集合运算律,交换律：,结合律：,分配律：,对偶律：,.,18,例1证明对偶律,证明,.,19,例1证明对偶律,或证,.,20,例2证明,证明,.,21,例3证明吸收律,证明,吸收律,证明留作练习。,.,22,例4证明,证明,.,23,例5证明,证明,.,24,集合元素的计数问题：,定义集合A中所含元素的个数称为集合A的基数，记作|A|。,容斥原理：,设A,B为有限集，则,特别，如果,(称为分离的),则,.,25,例1有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言，35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言。问有多少人对这两种语言都不熟悉？,解,23,47,35,41,两种语言都不熟悉的人有,由容斥原理，至少熟悉一种语言的人有,.,26,.,27,例2在12000的整数中，有多少整数(1)能被6或8整除；(2)既不能被6也不能被8整除；(3)能被6整除而不能被8整除.,设A能被6整除的整数；,解,B能被8整除的整数.,则,.,28,例2在12000的整数中，有多少整数(1)能被6或8整除；(2)既不能被6也不能被8整除；(3)能被6整除而不能被8整除.,解,.,29,解,例3某地区有100个工厂，其中，80个生产甲种机床，以集合A表示这些工厂；61个生产乙种机床，以集合B表示这些工厂；55个两种机床都生产。试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目：(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂。,.,30,(七)集合的笛卡尔乘积,定义,定义,例1,设A,B都是有限集，则有,.,31,例2,它表示平面直角坐标系中一个矩形区域：,例3设R为实数集，则RR表示坐标平面，,而RRR表示三维实空间。,.,32,第二节实数集,(一)实数与数轴,实数,有理数,无理数,整数,分数,(无限不循环小数),正整数,零,负整数,实数与数轴上的点是一一对应的。,有理数:,其中p,q为既约整数,且,数轴,.,33,(二)实数的绝对值,设a为一实数，则其绝对值定义为,几何意义：|a|表示数轴上点a到原点的距离。,|a-b|表示数轴上两点a和b之间的距离。,.,34,绝对值的基本性质：,.,35,绝对值不等式的解：,.,36,例1解下列绝对值不等式：,解,.,37,例2解绝对值不等式：,解,.,38,(三)区间,开区间,闭区间,.,39,左开右闭区间,左闭右开区间,.,40,无限区间,.,41,(四)邻域,记作,记作,.,42,.,43,第三节函数关系,(一)函数关系,x称为自变量，y称为因变量.,.,44,注意：,例如，,是定义在R上的一个函数，,它的值域是,.,45,例1判断下列各对函数是否相同？,相同,不同,(定义域不同),不同,(对应法则不同),相同,不同,(定义域不同),=|x|,确定函数的两要素：,定义域和对应法则。,.,46,(二)定义域的确定,(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值。,如何求函数的自然定义域？,(a)分式的分母不等于零；,(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；,(c)对数的真数应大于零；,(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；,(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集。,.,47,例2求下列函数的(自然)定义域。,因此，函数的定义域为,解,即定义域为,.,48,因此，函数的定义域为,.,49,解,例3,因此g(x)的定义域为,.,50,(三)隐函数,但有时不易或不能显化，如Kepler方程：,两个分支，,多值函数。,.,51,第四节分段函数,在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。,注意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数。,.,52,分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,注意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数。,.,53,这也是分段函数，其定义域为,.,54,例1,解,.,55,几个分段函数的例子.,1)绝对值函数,.,56,2)符号函数,.,57,3)取整函数y=x,x表示不超过x的最大整数.,.,58,4)狄利克雷函数(Dirichlet),.,59,第五节建立函数关系的例题,例1某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过20公斤，每公斤10元；购买不超过200公斤，其中超过20公斤的部分，每公斤7元；购买超过200公斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(x).,解,.,60,例2有一工厂A与铁路的垂直距离为a公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里，工厂的产品必须经火车站C才能转销外地。已知汽车运费是m元/吨公里，火车运费是n元/吨公里(mn),为使运费最省，想在铁路上另修一小站M作为转运站，那么运费的多少决定于M的地点。试将运费表示为距离|BM|的函数。,设|BM|=x，运费为y。,其定义域为0,b。,解,根据题意，有,于是,.,61,例3设某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为c元。试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。,设批量为x，库存费与生产准备费的和为P(x)。,定义域为(0,a中a的正整数因子。,每年生产的批数为a/x,每年生产准备费为ba/x,解,每年平均库存量为x/2,每年库存费为cx/2,因此,.,62,例4某工厂生产某产品，每日最多生产100单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。,解设日总成本为C，平均单位成本为C，日产量为x。由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为C=C(x)=130+6x，D(C)=0,100；平均单位成本函数为,.,63,第六节函数的几种简单性质,(一)函数的奇偶性,偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,.,64,奇函数,奇函数的图形关于原点对称。,.,65,例1判断下列函数的奇偶性：,偶函数,非奇非偶,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,奇函数,.,66,解,所以f(x)为奇函数。,例2判断下列函数的奇偶性：,.,67,例3,是偶函数；而,是奇函数。,证明是容易的。,由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：,.,68,(二)函数的周期性,(通常周期函数的周期是指其最小正周期).,注意：并非任意周期函数都有最小正周期。,.,69,(三)函数的单调性,.,70,.,71,例如,函数y=x3在(-,+)内单调增加。,.,72,而函数y=x2在区间(-,0)内单调减少；在区间(0,+)内单调增加。,.,73,(四)函数的有界性,.,74,因为存在M=1，使对任意x(-,+)，有|sinx|1，所以y=sinx是(-,+)内的有界函数。,y=sinx有界吗?,.,75,什么叫“无界”？,有界：,.,76,第七节反函数与复合函数,(一)反函数,定义设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Z。如果对于每个yZ，存在唯一xD，使f(x)=y，则x是一个定义在Z上的函数，称为y=f(x)的反函数，记为x=f1(y)。,函数y=f(x)与函数x=f1(y)互为反函数。,将x与y互换，就得所求反函数为,例1求y=3x1的反函数。,解,.,77,例2,解,两式相减，得,.,78,例如，在(-,+)内，y=x2不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。,一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系。,在(0,+)内y=x2有反函数,在(-,0)内，y=x2有反函数,.,79,直接函数与反函数的图形关于直线y=x对称.,.,80,(二)复合函数,例如：,可以复合成,注：不是任何函数都可以复合成一个函数。,不能复合。,和,u称为中间变量。,.,81,注意复合次序：,复合可以多次进行。,例1,.,82,重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。,例3,例2,的复合。,.,83,第八节初等函数,基本初等函数：,1、常数函数,常函数的定义域为(-,+)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。,.,84,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,.,85,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,.,86,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,.,87,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,.,88,幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。,常见的幂函数及其图形：,2、幂函数,.,89,3、指数函数,定义域为(-,+)，值域为(0,+)，,都通过点(0,1),当a1时，函数单调增加；,当0a1时,函数单调增加；,当0a1时,函数单调减少。,.,91,正弦函数,余弦函数,y=sinx与y=cosx的定义域均为(-,+)，均以2p为周期。y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数。它们都是有界函数。,5、三角函数,.,92,定义域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函数。,正切函数,定义域:xnp。周期:p。奇函数。,余切函数,.,93,正割函数,.,94,余割函数,.,95,6、反三角函数,正弦函数,反正弦函数,.,96,6、反三角函数,正弦函数,定义域：,值域：,单调增加函数；,奇函数.,反正弦函数,.,97,余弦函数,反余弦函数,.,98,余弦函数,定义域：,值域：,单调减少函数；,非奇非偶.,反余弦函数,.,99,正切函数,反正切函数,定义域：,值域：,单调增加函数；,奇函数.,.,100,余切函数,反余切函数,定义域：,值域：,单调减少函数；,非奇非偶.,.,101,反三角函数的基本性质：,.,102,反三角函数值的确定：,求arcsinx值的方法：,.,103,例求下列各反三角函数的值：,.,104,例求下列函数的(自然)定义域。,解,因此，函数的定义域为,.,105,由基本初等函数经过有