计算方法 常微分方程初值问题数值解法-Euler公式-龙格-库塔法.ppt

第12次常微分方程初值问题数值解法,计算方法(NumericalAnalysis),内容,常微分方程初值问题解的存在性定理Euler公式梯形公式两步Euler公式欧拉法的局部截断误差改进型Euler公式龙格-库塔法算法实现,常微分方程初值问题解的存在性定理,第9章常微分方程初值问题数值解法,包含自变量、未知函数及未知函数的导数的方程称为微分方程。,微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。,9.1引言,自变量个数只有一个的微分方程称为常微分方程。,如下是一些典型方程求解析解的基本方法可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。,从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。,定理1：如果函数f(x,y)在带形区域,则方程(9.1)在a,b上存在唯一的连续可微分的解的解y=y(x)。,内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使,推论：如果函数f(x,y)对y的偏导数在带形区域,对R内的所有x，y都成立。,即存在常数L(它与x,y无关)使,则方程(9.1)在a,b上存在唯一的连续可微解y=y(x)。,内有界。,Home,Euler公式,本章假设微分方程初值问题(9.1)有解,常微分方程初值问题(9.1)的数值解法的基本思想：算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点,的近似值,处的函数值,y=y(x),a=x0,xn=b,x1,x2,x3,(未知),相邻两个节点的间距称为步长，步长可以相等，也可以不等。,数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解。,常微分方程数值解法的基本出发点：离散化。采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序逐步向前推进。,中的导数进行离散化处理。,以便对初值问题,欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。,9.2简单的数值方法与基本概念,的解y=y(x)代表通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。,积分曲线上每一点的切线的斜率等于函数在这点的函数值。,9.2.1Euler公式,初值问题,Euler法的求解过程:从初始点P0(即点(x0,y0)出发，作积分曲线y=y(x)在P0点上切线，其斜率为,y=y(x),x0,xi,x1,y,x2,P1(x1,y1),P0,Pn,xi+1,xn,P2(x2,y2),Pi(xi,yi),Pi+1(xi+1,yi+1),y(x1),y(x2),y(xi),y(xi+1),y(xn),y(x0),这样就获得了P1点的坐标：(x1,y1)。将y1作为y(x1)的近似值(想象(x1,y1)在积分曲线y=y(x)上),当时，得,过点P1(x1,y1)，作积分曲线y=y(x)的切线交直线x=x2于P2点。注意切线的斜率(近似)为,直线方程为:,当时,得,由此获得了P2的坐标。,直线的方程为：,当时,得,重复以上过程,对已求得点,以为（近似）斜率作直线,y=y(x),x0,xi,x1,y,x2,y1,P0,Pn,xi+1,xn,y2,yi,yi+1,y(x1),y(x2),y(xi),y(xi+1),y(xn),y(x0),yn,微分方程(9.1)的精确解y=y(x)的近似解为：y1，y2，,yn,注：还可用数值积分法和泰勒展开法推导Euler公式（略）。,Euler公式,解：取h=0.1，根据Euler公式，得,例9.1：利用Euler公式求解微分方程的初值问题,由x0=0,y0=1，代入以上公式，得y1=1.1*y0-0.2*x0/y0=1.1,课堂练习：计算出x2,y2；x3,y3,x0=0,y0=1x1=0.1,y1=1.1,计算结果比较：,初值问题有解：,可以由此公式计算出准确解：y(xn),欧拉法,准确值,y=y(x)的近似解,0,1,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,Home,1,1.5,2,梯形公式,9.2.2梯形公式,(9.4),改用梯形方法计算其积分项，即,为了提高精度,对方程的两端在区间上积分得，,(9.5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是显式方法。,代入(7.4)式,并用近似代替式中即可得到梯形公式,(9.5),由于数值积分的梯形公式比矩形公式的精度高，所以梯形公式（9.5）比欧拉公式(9.2)的精度高。,求解困难,Home,两步Euler公式,对方程两端在区间上积分得,(9.6),改用中矩形公式计算其积分项，即,代入上式,并用yi近似代替式中y(xi)即可得到,(9.7),9.2.3两步欧拉公式,两步欧拉公式,2个区间,【注】欧拉方法和梯形方法，都是单步法,其特点是在计算yi+1时只用到前一步的信息yi;,而两步欧拉公式(9.7)中除了yi外,还用到更前一步的信息yi-1,即调用了前两步的信息。,Home,欧拉法的局部截断误差,9.2.4欧拉法的局部截断误差,定义9.1在yi准确的前提下,即时,用数值方法计算yi+1的误差：,衡量求解公式好坏的一个主要标准是求解公式的精度,因此引入局部截断误差和阶数的概念。,称为该数值方法计算时yi+1的局部截断误差。,(b)-(a），得,欧拉公式的截断误差推导：,定义9.2若数值方法的局部截断误差为，则称这种数值方法的精度阶数是P。,步长(hN结束。,9.2.6改进欧拉法算法实现,（2）改进欧拉法的流程图,(3)程序实现(改进欧拉法计算常微分方程初值问题),clearx=0,yn=1%初始化forn=1:10yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn);%预测x=x+0.1;yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp);%校正yn=(yp+yc)/2%平均（再矫正）end,本题的精确解为,改进欧拉法的Matlab