2017_18学年高中数学第三章3.3.2函数的极值与导数课件.pptx

3.3.2函数的极值与导数,主题函数极值的概念及求法观察图象回答下面问题,1.函数在点x=a的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系?提示:函数在点x=a的函数值比它在点x=a附近的其他点的函数值都小.,2.f(a)等于多少?在点x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?提示:f(a)=0,在点x=a附近的左侧f(x)0.,3.函数在点x=b处的情况呢?提示:函数在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0,且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,f(x)2时,f(x)0,函数f(x)为增函数;当0x2时,f(x)0,f(x)0,故g(x)为增函数;综上知,g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.,【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且当x=-1时取得极大值7,当x=3时取得极小值,试求函数f(x)的极小值,并求a,b,c的值.,【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b.因为x=-1时函数取得极大值,x=3时函数取得极小值,所以-1,3是方程f(x)=0的根,即为方程3x2+2ax+b=0的两根.,所以f(x)=x3-3x2-9x+c.因为x=-1时取得极大值7,所以(-1)3-3(-1)2-9(-1)+c=7,所以c=2,所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-332-93+2=-25.,类型三函数极值的综合应用【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程为_.(2)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a0).若函数f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求m的取值范围.,【解题指南】(1)先求出极值,再求出切点坐标,然后利用导数求出切线斜率,最后得切线方程.(2)先由已知条件求出a值,确定f(x),再由直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同交点,利用数形结合求出m的范围.,【解析】(1)f(x)=ex+xex=ex(1+x),令f(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点,因为f(-1)=-e-1=-,所以切点为.因为切线斜率为0,所以所求得切线方程为y=-.答案:y=-,(2)因为f(x)在x=-1处取得极值,所以f(-1)=3(-1)2-3a=0,所以a=1.所以f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x1=-1,x2=1.当x0;当-1x0.所以由f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.作出f(x)的大致图象如图所示:,因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的图象可知,m的取值范围是(-3,1).,【延伸探究】1.若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何?改为“一个交点”呢?【解析】由例(2)解析可知:当m=-3或m=1时,直线y=m与y=f(x)的图象有两个不同的交点;当m1时,直线y=m与y=f(x)的图象只有一个交点.,2.若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=处取得极值”,其他条件不变,求m的取值范围.,【解析】由题意可得f(x)=-3x2+2ax,由f=0,可得a=2,所以f(x)=-x3+2x2-4,则f(x)=-3x2+4x.令f(x)=0,得x=0或x=,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表,因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,所以m的取值范围是,【方法总结】1.三次函数有极值的充要条件三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值导函数f(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式=4b2-12ac0.,2.三次函数单调性与极值(设x10,则f(x)在R上是增函数;若a0时,若a0,则f(x)的增区间为(-,x1)和(x2,+),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;若a0),当x(0,1)时,(x)0,(x)是增函数;当x(1,3)时,(x)0,(x)是增函数;当x=1,或x=3时,(x)=0.,所以(x)极大值=(1)=m-7,(