《机械优化设计》复习题-答案

机械优化设计审核问题解决方案一、填空1.当用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2 (1- x1) 2的最优解时，设x (0)=-0.5，0.5 t，第一次迭代的搜索方向为-47，-50 t2.机械优化设计采用数学规划方法，其核心是寻找搜索方向，其次是计算最优步长。3.当优化问题是凸规划时，任何局部最优解都是全局最优解。4.采用进退法确定搜索区间时，最后三个点是搜索区间的起点、中点和终点，它们的函数值形成一个高-低-高的趋势。5.具有n个设计变量的优化问题称为n维优化问题。6.函数的梯度是b。7.设G是nn对称正定矩阵。如果在N维空间中有两个非零向量d0、d1，并且(d0)TGd1=0，则d0和d1之间存在共轭关系。8.设计变量、目标函数和约束是优化设计问题数学模型的基本要素。9.对于无约束二元函数，如果最小值是在该点获得的，则必要条件是F (X10，X20)=0，充分条件是2F (X10，X20)=0正定。10.K-T条件可以描述为目标函数在极值点的梯度和每个约束函数的梯度的非负线性组合。11.用黄金分割法求一元函数的最小点。在第一次间隔消除后，初始搜索间隔是-2.36 10。12.优化设计问题数学模型的基本要素包括设计变量、目标函数和约束。13.牛顿的搜索方向dk=，这需要大量的计算，并且要求初始点位于最小点附近。14.由函数f(X)=x12 x22-x1x2-10x1-4x2 60表示的12x1x22-1-4x260。15.有矩阵H、向量d1和向量d2。当满足d1THd2=0时，向量d1和向量d2相对于h共轭16.当用外点法求解约束优化问题时，约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子R序列单调递增。17.用数学规划方法求解多元函数的极值点时，需要根据迭代公式进行一维搜索，即得到最优步长。第二，选择题1.下面的方法C需要一个黑森矩阵。A.最陡下降法B.共轭梯度法C.牛顿法D.DFP方法2.对于约束问题根据目标函数的等高线和约束曲线，确定为。DA.内部点；内点B.外部点；外点C.内部点；外点D.外部点；内点3.内点罚函数法可用于求解B优化问题。一个无约束优化问题仅带有不等式约束的最优化问题一个只有方程的优化问题带有不等式和等式约束的d优化问题4.对于一维搜索，搜索间隔是a，b，两点a1，b1，a1插入中间，因此迭代继续。第一个迭代步骤已经完成。2.尝试牛顿法寻找f(X )=(x1-2)2 (x1-2x2)2的最优解，并设置初始点x (0)=2，1 t解决方案1:(注意：问题设置不正确，初始点已经是最好的，解决方案2是修改问题后的解决方案。)牛顿法的搜索方向是s (k)=-2f-1 (f)，所以先找到当前迭代点x(0)。梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵f=4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1f(x(0)=002f=4-4-482f-1=S(k)=-2f-1f=00不要搜索，当前点是最好的。解决方案2:上述解决方案不是典型的牛顿方法，因为没有正确选择主题的初始点。解决问题的初始点修改如下，以反映牛顿法的典型步骤。以非最佳点x(0)=1，2T为初始点，再次采用牛顿法进行计算牛顿法的搜索方向是s (k)=-2f-1 (f)，所以先找到当前迭代点x(0)。梯度向量，海颜色矩阵及其逆矩阵梯度函数：f=4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1初始点梯度向量：f(x(0)=-812海洋颜色矩阵：2f=4-4-48海色矩阵的逆矩阵；2f-1=c的搜索方向S(k)=-2f-1(f)=- -812=-11新的迭代点位于当前搜索方向：X(k 1)=X(k) S(k)=X(0) S(0)=12+-11=1-2+当新的迭代点被引入目标函数时，目标函数将变成关于单变量的函数F()fXk 1=f1-2+=( 1)2 (3 3)2=F()如果df () d =20 20=0，则可以找到当前搜索方向上的最佳步长。=-1新的迭代点是x(1)=x(0)s(0)=12-11=21当前梯度向量的长度=12x128x8=14.4222，因此迭代继续。第二个迭代步骤：f=4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1f(x(1)=00f=0因此，没有必要继续计算，第一次迭代已经到达了最佳点。这是牛顿方法的二次收敛。对于正定二次函数，牛顿法可以一步找到最佳点。3.设置函数f(X)=x12 2x22-2x1x2-4x1，并尝试使用极值条件找到其极值点和极值。解决方法：首先，使用极端必要的条件F=00找到可能的极值点：制造f=2*x1 - 2*x2 - 4 4*x2 - 2*x1=00X1x2=42是可能的极值点。极值点由充分条件2f的正定(或负定)来确定。2f=2-2-242=202-2-24=8-4=40因此2f是正定的，X*=x1x2=42是最小点，极值是f(X*)=-84.求目标函数f(X )=x12 x1x2 2x22 4x1 6x2 10的极值和极值点。同上5.试着证明函数f(x)=2x 12 5x 22x 32x 32x 32x 3x1-6x 23在1，1，-2 t点有一个最小值。解决方案：必要条件：f=4 * x1 2 * x3 10 * x2 2 * x3-62 * x1 2 * x2 2 * x3把1，1，-2T点引入上述公式，你就可以得到f=000充分条件2f=4=4040010=400=80-40-16=2402f正定。因此，该函数在点1，1，-2 t处具有最小值6、给定约束优化问题最小f(X)=(x1-3)2 (x2-2)2s.t. g1(X)=-x12-x22+50g2(X)=-x1-2x2+40g3(X)=x10g4(X)=x20验证库恩-塔克条件在该点是否成立。解决方案：首先，找到在该点起作用的约束：g1(X)=0g2(X)=0g3(X)=2g4(X)=1因此，有效约束是g1(X)和g2(X)。然后，计算目标函数和约束函数的梯度，并检查目标函数梯度是否可以表示为约束函数梯度的非负线性组合。f=2*x1 - 6 2*x2 - 4=-2-2g1=-2*x1 -2*x2=-4-2，g2=-1 -2求解线性组合系数f= 1g1 2g2-2-2=1-4-2 2-1 -2 1=13和 2=23都大于0因此，库恩-塔克条件成立7、建立非线性规划问题K-T条件被验证为最有利的约束。同上8.已知目标函数为f(X)=x1 x2，受以下约束：g1(X)=-x12 x20g2(X)=x10写一个内部罚函数。解决方案：内部罚函数的一般公式是其中：r(1)r(2) r(3) r(k) 0是递减的正序列r(k)=铬(k-1)，0 碳1因此，惩罚函数是：X,rk=x1 x2 rk(1-x12 x2 1x1)9.已知的目标函数是f(X)=(x1-1)2 (x2 2)2约束条件：g1(X)=-x2-x1-10g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x10g4(X)=x20试着写一个内部罚函数。同上10.如图所示，有一块边长为6m的方形铝板。四个角切掉了边长为x的正方形，并把它转过来做成一个无盖的盒子。询问如何切断(x值是多少)以获得具有最大容器的盒子。尝试写出该优化问题的数学模型和用MATLAB软件求解的程序。11.一家工厂生产一个容积