信号与系统教案第5章.ppt

第五章连续系统的S域分析，5.1拉普拉斯变换一，从傅里叶变换到拉普拉斯变换二，收敛域三，性质(单边)拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换5.3拉普拉斯变换逆变换5.4复频域分析一，微分方程的变换解二，系统功能三，系统的S域框图四，电路的S域模型，点击目录进入相关章节，第五章连续系统的S域分析， 频域分析以虚指数信号EJt为基本信号，任何信号都可以分解成多个不同频率的虚信号，简化了响应的求解。 物理意义很清楚。但是，仍然存在一些不足：(1)对于一些重要的信号，如e2t(t)，不存在傅里叶变换；(2)对于给定的初始状态系统，很难使用频域分析。在本章中，这些问题将通过将频域中的傅立叶变换扩展到复频域来解决。本章介绍复频率s= j。以复指数函数est为基本信号，任何信号都可以分解成不同复频率的复指数分量之和。系统分析中使用的独立变量是复频率S，因此称为S域分析。使用的数学工具是拉普拉斯变换。5.1拉普拉斯变换，首先，从傅立叶变换到拉普拉斯变换，有些函数不满足绝对可积条件，而且很难求解傅立叶变换。因此，信号f(t)可以乘以一个衰减因子e-t(它是一个实常数)，并适当选择，使乘积信号f (t) e-t的幅度在t 时接近零，从而存在f (t) e-t的傅里叶变换。相应的傅里叶逆变换是，f(t) e-t=，FB (j)=f(t) e-t=，因此s=j，d=ds/j，有，5.1拉普拉斯变换，双边拉普拉斯变换对，Fb(s)称为f(t)的双边拉普拉斯变换(或镜像函数)，f(t)称为Fb(s)的双边拉普拉斯逆变换(或本原函数)。2、收敛域，只有通过选择合适的值积分才能收敛，并且信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换存在的范围称为收敛域。下面的例子说明了Fb(s)收敛域的问题。5.1拉普拉斯变换，例1因果信号f1 (t)=et (t)，求其拉普拉斯变换。对于因果信号，只有当s=拉普拉斯变换存在时，解才可见。收敛域如图所示。收敛域，收敛边界，5.1拉普拉斯变换，例2逆因果信号F2 (t)=ET (-t)，求其拉普拉斯变换。可以看出，对于反因果信号，收敛域是-，2，(t)或11/s，0，3，指数函数e-s0t，-re s0，cos0t=(ej0t e-j0t)/2，sin0t=(ej0t-e-j0t)/2j，5.1拉普拉斯变换仅当使用re s=时。4.周期信号fT(t)，特殊情况：t(t);1/(1e-ST)，5.1拉普拉斯变换，5。单边拉普拉斯变换和傅立叶变换之间的关系，关于0。要讨论这种关系，f(t)必须是因果信号。根据收敛坐标0的值，可分为以下三种情况：(1)0-2；然后f (j)=1/(j2)，5.1拉普拉斯变换，(2) 0=0，即F(s)的收敛边界是j轴，例如F(t)=(t)F(s)=1/s，=(1/j)，(3) 00，f (j)不存在。例f(t)=e2t(t)f(s)=1/(s2)，2；它的傅立叶变换并不存在。5.2拉普拉斯变换性质，5.2拉普拉斯变换性质，1，线性性质，如果f1(t)f1(s)res1，F2(t)F2(s)res2，则a1 f1(t)a2 F2(t)a2 F2(s)a2 F2(s)resmax(1，2)，示例f(t)=(t)(t)1/s，0，第二，标度变换。如果f(t) f (s), re s 0且具有实数a0，则F(at)，re s A0，5.2拉普拉斯变换性质，例如，拉普拉斯变换F(s)=，如图形信号f(t)所示，以及图形信号y(t)的拉普拉斯变换Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)，Y(s)=42F(2s)，5.2拉普拉斯变换性质，3，时移(延迟)性质。如果f (t) f (s)，re s 0并且具有实常数t00，f (t-t0) (t-t0) e-st0f (s)，re s 0，结合比例变换，f (at-t0) (at-t0)请,示例1:找到图形信号的单侧拉普拉斯变换。解决方案：F1(t)=(t)(t-1)，F2 (t)=(t-1)，F1 (s)=，F2 (s)=F1 (s)，5.2拉普拉斯变换属性，示例2:已知F1(t)F1(s)，查找F2(t)F2(s)，解决方案：f2(t)=f1(0.5t)-f10.5(t-2)，F1 (0.5t) 2f1 (2s)，F10.5(s)，5.2拉普拉斯变换性质，4，复频移(s域偏移)特性，如果f(t )=f(s ), res0，并且具有复常数sa=a ja，则f (t) esat f (s-sa)，re s 0a，例如1:因果信号f(t)的镜像函数F(s)=, f (t)是已知的，并且获得e-tf(3t-2)的镜像函数。解决方案：e-TF(3t-2 );,示例2: f(t)=cos(2t/4);f(s )=?cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)sin(2t)sin(/4)，5.2拉普拉斯变换性质，5，时域微分性质(微分定理)。如果f (t)F(s)，关于s 0，F(t)SF(s)F(0-)F”(t)s2f(s)SF(0-)F(0-)，F(n)(t)SNF(s)-如果F(t)是一个因果信号，那么F(n)(t)SNF(s)，例如1:(n)(t)92；？例2:例3:5.2拉普拉斯变换性质，6，时域积分性质(积分定理)，如果f(t);f(s ), res0，那么，例1:t2 (t )?5.2拉普拉斯变换性质，例2:已知因果信号f(t)如图所示，F(s)，解：F(t)由f(t)导出，如图所示，因为f(t)是一个因果信号，f (0-)=0，F(t)=(t)-(t2)-(t2)f1(s)，结论：如果f(t)是一个因果信号，给定F(n)(t) 时域卷积定理如果因果函数f1(t)f1(s)，re s 1，F2(t)F2(s)，re s 2，f1(t)* F2(t)f1(s)F2(s)，复频域卷积定理，例1:t(t );? 例如，例2: F(s)=，例3:5.2拉普拉斯变换性质，8，s域微分和积分，如果f (t) f (s)，关于s 0，则例1:t2e-2t(t )?e-2t(t)1/(S2)，t2e-2t(t)5.2拉普拉斯变换性质，例2:例3:5.2拉普拉斯变换性质，9，初值定理和终值定理，初值定理和终值定理常用于直接从F(s)中求f(0)和f(),而不是求原始函数f(t)，初值定理，假设函数f(t)不包含(t)及其导数(即F(s) 如果F(s)是转换成真分数的假分数)，那么最终值定理，如果f(t)存在于t，并且F(t);F(s)，关于s 0，00，那么5.2拉普拉斯变换的性质，例如1:示例2:5.3拉普拉斯逆变换，5.3拉普拉斯逆变换，很难直接使用该定义获得逆变换-复函数积分。 常用方法(1)查表(2)利用性质(3)部分分数展开-组合。如果图像函数F(s)是s的有理分式，它可以