高数微积分无穷级数.pptx

第八章微分方程,第一节微分方程的基本概念,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,(本章内容),微分方程的基本概念,分类,例,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(n阶显式微分方程),一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,或,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,一阶:,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),中不含任意常数,故为微分方程的特解.,第二节可分离变量的微分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,练习:,解分离变量,即,(C0),二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,得,可分离变量的方程,1.定义,例3.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),原方程可写成,解,分离变量得,两边积分得uln|u|Cln|x|或写成ln|xu|uC,例4,小结,1.可分离变量的微分方程:,分离变量法,（1）分离变量;,（2）两端积分.,可分离变量的微分方程解法：,2.齐次方程,齐次方程的解法：,化为可分离变量得方程,解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,8.3一阶线性微分方程,线性方程,形如yP(x)yQ(x)的方程称为一阶线性微分方程并且当Q(x)恒为零时称为一阶齐次线性方程Q(x)不恒为零时称为一阶非齐次线性方程,一阶线性微分方程,考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？,注,非齐次线性方程的通解也可为,上式表明非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和,非齐次线性方程的通解,齐次线性方程的通解,非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,解,例1,例2解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,解,第一步，求相应的齐次方程的通解,解,第二步，常数变易法求非齐次方程的通解,例3解方程,分析：,如果把x看成自变量，把y看成因变量，上式不是一阶线性方程；,反之，如把y看成自变量，把x看成因变量,上式成为：,是一阶非齐次线性方程,分析：,如果把x看成自变量，把y看成因变量，上式不是一阶线性方程；,反之，如把y看成自变量，把x看成因变量,上式成为：,是一阶非齐次线性方程,先解对应齐次方程的通解，得：,设非齐次方程的通解为：,求,将,代回方程，,经整理得所求方程的通解：,内容小结,一阶线性方程,先解齐次方程,再用常数变易法.,练习,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2),于是,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,8.5二阶线性微分方程解的结构,定义,二阶齐次线性微分方程,二阶非齐次线性微分方程,二阶线性微分方程,问题:,一.二阶齐次线性方程的解的结构:,例如,举例,(1)函数1cos2xsin2x在整个数轴上是线性相关的这是因为1-cos2x-sin2x0,举例,(2)函数1xx2在任何区间(ab)内是线性无关的这是因为对任意不全为0的k1k2k3,k1+k2x+k2x2不可能恒为零,线性相关与线性无关,设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数如果存在n个不全为零的常数k1k2kn使得当xI时有恒等式k1y1(x)k2y2(x)knyn(x)0那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关,例如,二.二阶非齐次线性方程的解的结构:,例如,解的叠加原理,第六节二阶常系数齐次线性微分方程,一、定义,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,二阶常系数齐次线性微分方程:,称为微分方程的特征方程,其根称为特征根.,二、二阶常系数齐次线性方程解法,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,例3,求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,三、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.,例4.,的通解.,解:特征方程,特征根,因此原方程通解为,例5.,解:特征方程,特征根,原方程通解:,例6,为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,四、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,特征方程为,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,解答,令,则,特征根,通解,求微分方程的通解.,一、f(x)Pm(x)ex型,8.7二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,二、,二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,下页,一、f(x)Pm(x)ex型,因为f(x)Pm(x)ex3x10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0 xb1把它代入所给方程得,例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,3b0 x2b03b13x1,特解形式,首页,例2求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60,其根为r12r23,2b0 x2b0b1x,因此所给方程的通解为,因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0 xb1)e2x把它代入所给方程得,特解形式,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程的通解为,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的k重根(k=0,1),二、,例3,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,例4求以,