数学人教版高中二年级必修3 《2.3等差数列的前n项和》课件

在美国有一道广为流传的数学题目：老板给你两个加工资的方案，一是每年末加1000元；二是每半年结束时加300元。请选一种，一般不擅长数学的很容易选择前者。因为一年加1000元总比两个半年加600元要多。其实，由于加工资是累计的，时间稍长，往往第二种方案给有利。例如，在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000（元）；而第二种方案在第一年加得（300+600)元;第二年加得900+1200=2100（元），总数也是3000元。但到第三年，第一种方案可得1000+2000+3000=6000（元），第二种方案则为300+600+900+1200+1500+1800=6300（元），比第一种方案多了300元，第四年、第五年会更多。因此，你若在该公司干三年以上，则应选择第二种方案。,一则关于“加薪学问”的报道,尚志博学达理,等差数列的前n项和课时：第1课时选用教材：高中数学必修5（人民教育出版社A版）授课教师：伍帅,西藏军区拉萨八一学校,（Gauss,17771855），18世纪德国著名数学家，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿、欧拉齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星。,高斯,数学王子,二项式定理的一般形式数论上的“二次互反律”素数定理算术-几何平均数一个数学史上极重要的结果正十七边形尺规作图之理论与方法,高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，问：1+2+3+.+100=?过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10，.算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“答案是5050。”你知道高斯是如何快速而准确的计算出答案的吗？,计算：12399100,总结：高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果。,探究一高斯的算法,首尾配对相加法,探究二倒序相加法,八一校综合楼改造，学校购置了一堆粗细均匀的原木，如图所示。最上面一层放了一根原木，往下每一层都比它上面一层多放一根，最下面一层放25根。问：这堆原木一共有多少根？,该问题实际上求1+2+3+24+25=？,思考：用高斯的这种首尾配对法求和必须对项数是奇数或偶数讨论，那么该题还有简单方法吗？,假设X=1232425,那么X=25242321,2X=2626262626,一共25个26,所以2X=2625，X=325,Sn=123(n-1)n,推广,2Sn=(n+1)(n+1)(n+1)(n+1)(n+1),议一议：上述其实是求一个具体的等差数列前n项和。那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？,Sn=n(n-1)(n-2)21,试一试：用上述方法求从1到n的正整数之和。,n个,倒序相加法,探索公式,设等差数列an的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.,方法一：,n个,方法二：,同样利用倒序相加法求和，教材做了如下处理：,n个,探索公式,公式一,思考：怎样使公式一与公差d产生联系呢？,（提示：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入公式中，进行整理）,公式二,探索公式,公式应用,例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=2，n=50,公式记忆,a1,an,等差数列的前n项和公式类同于梯形面积公式。,a1,(n-1)d,an,a1,小结：在等差数列中有五个重要的量：a1，an，d，n，Sn,，只要已知任意三个量，就可以求出其它两个量。,例2.等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和为54？,解：设题中的等差数列为an，前n项和为Sn，则a110，d6（10）4,令Sn54，由等差数列前n项和公式，得：,因此,等差数列的前9项和是54,解得：n19，n23（舍去）,例题讲解,例题讲解,解：,例3.已知在等差数列an中，a2+a5+a12+a15=36，求S16.,高考链接：(2015全国卷）5.设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，求S5=()A.5B.7C.9D.11,提示：2a3=a1+a5,课堂总结,（1）通过由特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法，我们掌握以下两种求和方法：首尾配对”相加法、“倒序相加”法；（2）通过倒序相加的算法推导等差数列的前n项求和公式，以及通过数形结合的思想帮助大家记忆两个等差数列的求和公式：（3）公式的应用(知三求二)。,上页,下页,上页,下页,教材P46A组第2、3、4、6题课后思考：（1）请用等差数列前n项求和的公式分析课前的“加薪问题”，为什么第二种方案有利？（2）等差数列的前n项和的求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢?,课后作业,我国古代等差数列求和史,我国数列求和的概念起源很早。在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在张丘建算经中给出等差数列求