18届秋季班数学专题三 面积问题(2)

秋季班数学专题3 面积问题一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的方法，简称面积法。2. 面积公式（略）3. 两个三角形的面积比定理 等高（底）的两个三角形的面积比，等于它们对应的底（高）的比 有一个角相等或互补的两个三角形面积的比等于夹这个角两边的乘积的比 相似三角形面积的比等于它们的相似比的平方 有公共边的两个三角形面积的比等于它们的第三顶点连线被公共边分成的两条线段的比（内分比或外分比）。如图ABC和ADC有公共边AC，M内分BD第三顶点连线BD被公共边AC内分或外分于点M，则 M外分BD定理是以公共边为底，面积的比等于它们的对应高的比换成对应线段的比二、例题例1. 求证有一个30度角的菱形，边长是两条对角线的比例中项已知：菱形ABCD中， DAE30求证：AB2ACBD证明：作高DE，DAE30DEADABS菱形ABCDABDEAB2S菱形ABCDACBD，AB2ACBD例2. 求证：等边三角形内任一点到各边的距离的和是一个定值已知：ABC中，ABBCAC，D是形内任一点，DEBC，DFAC，DGAB，E，F，G是垂足求证：DEDFDG是一个定值证明：连结DA，DB，DC，设边长为a, SABCSDBCSDCASDABahaa（DEDFDG） DEDFDGha等边三角形的高ha是一个定值，DEDFDG是一个定值本题可推广到任意正n边形,其定值是边心距的n倍例3. 已知：ABC中，求：的值解：ADF和ABC有公共角A，同理，（本题可推广到：当，时，）例4. 如图RtABC 被斜边上的高CD 和直角平分线CE分成3个三角形，已知其中两个面积的值标在图中，求第三个三角形的面积x。 解：CE平分ACB， CD是 RtABC的高 CADBCD， 解得x1= 4, x2=9 (两解都适合) 例5.设一直线截ABC三边AB，BC，CA或延长线于D，E，F那么 （梅涅劳斯Menelaus定理）证明：连结AE，根据三角形面积比定理得1例6.已知MN 是ABC的中位线，P在MN上，BP，CP交对边于D，E求证证明：连结并延长AP交BC于F，则APPFSCPASCPF，SBPASBPF例7.如图已知：ABC中，ABCRt，AC2AB，ACM和BCN都是等边三角形 求证：MN被AC平分证明：连结AN，ABC中ABCRt，AC2ABACB=30CAN=90BCM90SACMba, SCAN=abSACMSCAN，ACM，CAN有公共边AC， MKKN三、课内外练习1. 如图ABC面积是96，D分BC为21，E分AB为31则ADE面积是2. 几条直线都平行于三角形的同一边，并分其它两边为10个相等的线段，同时把三角形分成10个不同的部分，已知这些部分中最大的面积是38，那么原三角形的面积是3. ABC三边a,b,c 上的高分别是ha=6, hb=4, hc=3,那么abc=4. S正方形ABCDk,M，N分别是边AB，BC的中点AN，CM相交于O，那么S四边形AOCD5. 平行四边形ABCD中，E分AB为12，F分BC为21，DE和AF交于G，那么6. 如图平行四边形ABCD中P，Q分别是BC，CD的中点，写出和ABP等积的三角形（5）（6）7. 已知：ABC中AB10，D，E分别在边AB，AC上，且在DEBC，SADESBDC2，求8. 如图经过ABC内一点O，与各顶点A，B，C的直线，把三角形分成6个小三角形，其中的4个面积已标在图中，求ABC的面积9. 如图已知：平行四边形ABCD中，AECF，AE，CF交于G求证：AGBBGC10. 已知：ABC中，O是形内任一点，AO，BO，CO延长线交对边于D，E，F求证：11. 如图已知：AC平分BAD，AC2ABAD求证：12. 如图已知：ABC中，P，Q在BC上，且BAPCAQ求证：ABAC13. ABC内一点P，过P作三边的平行线，所得的小三角形面积分别为4，9，49那么ABC面积是多少？14. ABC中，点D，E，F分别分BC，CA，AB为12，AD，BE，CF相交于P，Q，R求PQR与ABC的面积比 15.梯形ABCD中ABCD，O是对角线的交点，若SCOD3，SAOB11求S梯形ABCD16.四边形ABCD的对角线ACBD15cm ，O是交点，AOB150，求SABCD 17.四边形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，DFFC1，CEEB2，若SADFm，S四边形AECFn (mn),则S四边形ABCD练习题参考答案1.482.2003.234 4.k5.6.有五个7.428.3159.由等积等底推出等高证全等10.左边1 边右边6. ABCACD用三角形面积比和7. SABPS